Bilinearität zeigen

01.07.2011, 16:16

ChronoTrigger

Bilinearität zeigen

Hi,

ich habe einen normierten reellen Vektorraum, in dem die Parallelogramm-Identität gilt.
Nun soll ich die Skalarprodukt-Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} <x,y>:=\frac14 (||x+y||^2-||x-y||^2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in V \end{eqnarray*}$ zeigen.

Ich habe soweit auch alles hinbekommen, nur bei der Bilinearität, insbesondere der Additiviät, scheitert ist.

Ich fange also so an:

Seien $\begin{eqnarray*} x,y,z \in V \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} <x+z,y>=\frac14 (||(x+z)+y||^2 - ||(x+z)-y||^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac14 ||x+z+y||^2 - \frac14 ||x+z-y||^2 \end{eqnarray*}$

Ich muss nun irgendwie auf folgendes kommen:

= $\begin{eqnarray*} \frac14 (||x+y||^2-||x-y||^2) + \frac14 (||z+y||^2-||z-y||^2) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} <x,y>+<z,y> \end{eqnarray*}$

Leider sehe ich momentan weder vorwärts noch rückwärts, wie ich weiter umformen könnte.

hat jemand einen tipp für mich?

danke schonmal im voraus.

02.07.2011, 11:41

Reksilat

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RE: Bilinearität zeigen
Hi Chrono,

Wir fangen einfach mal bei $\begin{eqnarray*} ||x+z+y||^2 - ||x+z-y||^2 =... \end{eqnarray*}$ an:

Nach Parallelogrammgleichung ist
$\begin{eqnarray*} \|x+z+y\|^2=2\|x+y\|^2+2\|z\|^2-\|x+y-z\|^2 \end{eqnarray*}$
Nun lässt sich $\begin{eqnarray*} \|x+z-y\|^2 \end{eqnarray*}$ auf ähnliche Weise derart umformen, dass sich am Ende die Normen mit den drei Summanden wegkürzen.
Dann sollte es schon etwas besser aussehen.
smile

Gruß,
Reksilat.

02.07.2011, 12:35

ChronoTrigger

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danke für die antwort.

Mit der Parallelogrammgleichung ist dann auch

$\begin{eqnarray*} ||x+z-y||^2=||x-y+z||^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2||x-y||^2+2||z||^2-||x-y-z||^2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun oben alles einsetze, erhalte ich

$\begin{eqnarray*} =\frac14 (2 \|x+y\|^2+2\|z\|^2-\|x+y-z\|^2 - \frac14 (2||x-y||^2+2||z||^2-||x-y-z||^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac12 ||x+y||^2+\frac12 ||z||^2 - \frac14 ||x+y-z||^2-\frac12 ||x-y||^2 - \frac12 ||z||^2 + \frac14 ||x-y-z||^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac12 ||x+y||^2 - \frac14 ||x+y-z||^2-\frac12 ||x-y||^2 + \frac14 ||x-y-z||^2 \end{eqnarray*}$

Ich habe hier immer noch Normen mit drei Summanden stehen, und sehe nicht, wo der Fehler ist.

02.07.2011, 12:45

Reksilat

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Zitat:

Mit der Parallelogrammgleichung ist dann auch

$\begin{eqnarray*} ||x+z-y||^2=||x-y+z||^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2||x-y||^2+2||z||^2-||x-y-z||^2 \end{eqnarray*}$

Das ist aber leider nicht die Variante, bei der sich die Normen mit drei Summanden wegkürzen. Es gibt insgesamt drei Möglichkeiten $\begin{eqnarray*} ||x+z-y||^2 \end{eqnarray*}$ aufzulösen. Bleiben also noch zwei... Augenzwinkern

02.07.2011, 13:05

ChronoTrigger

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ah danke, jetzt habe ich es umgeformt bekommen smile

damit wäre die Aufgabe gelöst.

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