Aufgabe zu Diffgleichung / Var.d.Konstanten Schritt unklar

01.07.2011, 18:16

pablosen

Aufgabe zu Diffgleichung / Var.d.Konstanten Schritt unklar

Hallo liebes Forum

Diese Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} y'(x)=y(x)+sin(x) , y(0)=y_0 \end{eqnarray*}$

Dies ist mit Variation d. Konstanten zu lösen. Der nächste Schritt sieht in der Musterlösung bereits so aus:

(*) $\begin{eqnarray*} y(x)=y_0*e^x+\int_{0}^{x} e^{x-T} sin(T) dT \end{eqnarray*}$

Diesen Schritt verstehe ich nicht. Was ich weiss, ist, dass die (allg.?) Lösung der homogenen Variante
$\begin{eqnarray*} y'(x)-y(x)=0 , y(0)=y_0 \end{eqnarray*}$
sein muss
$\begin{eqnarray*} y(x)=C*y_0*e^x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C=1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} y(0)=y_0 \end{eqnarray*}$

Ist das soweit korrekt?

Was muss ich hier denn varrieren nun? Könnte mir bitte ev. jmd. ein paar Tipps geben, wie man auf den Schritt (*) kommt? Habe zwar ein paar Beispiele verstanden, wie das geht, aber dieses irgendwie nicht bisher leider.

Grüsse
Pablo

02.07.2011, 09:57

Felix

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Variation der Konstanten

02.07.2011, 10:05

Wetal

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du kannst nicht $\begin{eqnarray*} y(0) = y_0 \end{eqnarray*}$ für deine homogene gleichung fordern! diese bedingung gilt zunächst nur für die inhomogene. das heißt, deine homogene lösung lautet

$\begin{eqnarray*} y_h(x) = ce^x \end{eqnarray*}$

mit einer konstante c. variation der konstanten sagt: nehme an, dass c eine funktion c(x) ist. dann sieht die inhomogene lösung so aus:

$\begin{eqnarray*} y= c(x) e^x \end{eqnarray*}$

da wir annehmen dass sie die inhomogene gleichung löst, setzen wir sie in die diffgleichung ein und versuchen c(x) zu finden.

$\begin{eqnarray*} (c(x)e^x)' = c(x)e^x + sin(x) \end{eqnarray*}$

02.07.2011, 15:57

pablosen

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Ich danke euch.

Ich komme nun auf

$\begin{eqnarray*} c(x)' = sin(x)*e^{-x} \end{eqnarray*}$

Woher weiss ich jetzt, über welche Grenzen ich integrieren muss und woher kommt dieses $\begin{eqnarray*} e^{x-T} \end{eqnarray*}$ in der Lösung oben?

Grüsse

02.07.2011, 16:39

Wetal

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Die Integrationsgrenzen gehen immer von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Wenn du dir nicht sicher bist, berechne einfach Stammfunktion und addiere eine Konstante dazu. Am ende kansnt du die Konstante mit der Anfangsbedingung ausrechnen.

02.07.2011, 17:51

pablosen

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Ich bekomme die homogene Lösung

$\begin{eqnarray*} y_h(x) = (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}*e^{-x}*(cos(x)+sin(x)))*e^x \end{eqnarray*}$

Folgert man nun einfach, weil $\begin{eqnarray*} y_h(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y(0)=y_0 \end{eqnarray*}$ sein muss, dass man dann mit

$\begin{eqnarray*} y(x)=y_0 * e^x + y_h(x) \end{eqnarray*}$

eine gesuchte Lösung hat? Hmm...

02.07.2011, 17:55

Wetal

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sag mir bitte was deine funktion c(t) ist. du hast ja schon c'(t) gehabt und musstest nur noch integrieren, um die stammfunktion zu bekommen.

04.07.2011, 10:09

pablosen

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Zitat:

Original von Wetal
sag mir bitte was deine funktion c(t) ist. du hast ja schon c'(t) gehabt und musstest nur noch integrieren, um die stammfunktion zu bekommen.

Ich komme auf

$\begin{eqnarray*} c(x) = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}*e^{-x}*(cos(x)+sin(x)) \end{eqnarray*}$

...? Falsch?

Mit $\begin{eqnarray*} y_h(x)=c(x)*e^x \end{eqnarray*}$ kriege ich oben aufgeführte Lösung.
Grüsse

04.07.2011, 10:26

Wetal

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das ist richtig, allerdings verstehe ich nicht wie du auf die konstante zahl 1/2 kommst. deine stammfunktion sollte

$\begin{eqnarray*} c(x) = c - \frac{1}{2}e^{-x}( \cos(x) + \sin(x)) \end{eqnarray*}$

mit einer konstanten c sein. Damit hast du nun die lösung für die diff'gleichung:

$\begin{eqnarray*} y(x) =c(x) \cdot e^{x} = ce^x - \frac{1}{2}( \cos(x) + \sin(x)) \end{eqnarray*}$

setze man nun den anfangswert $\begin{eqnarray*} y(0)=y_0 \end{eqnarray*}$ ein, so ergibt sich

$\begin{eqnarray*} c= y_0 + 1/2 \end{eqnarray*}$

13.07.2011, 09:21

pablosen

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Folgende ähnliche Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} y'(x)=\frac{y(x)}{x}+x^3 , y(1)=1 \end{eqnarray*}$

Die homogene Lösung (ohne x3) sagt mir, dass y(x) so aussehen muss:

$\begin{eqnarray*} y(x)=c(x)*e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'(x)=c'(x)*e^{\frac{1}{x}}+\frac{c(x)}{x^2}*e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} c(x)=y(x)*e^{-\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} c'(x)=y'(x)*e^{-\frac{1}{x}}+\frac{y(x)}{x^2}*e^{-\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die zuoberst stehende DGL ergibt mir das:

$\begin{eqnarray*} c'(x)*e^{\frac{1}{x}}+\frac{c(x)}{x^2}*e^{\frac{1}{x}}=\frac{c(x)}{x}*e^{\frac{1}{x}}+x^3 \end{eqnarray*}$

Ist diese Vorgehensweise hier in Ordnung? Irgendwie kann ich jetzt nicht c'(x) so isolieren, dass ichs integrieren kann. Mache ich was falsch?

Grüsse

13.07.2011, 09:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von pablosen
$\begin{eqnarray*} y(x)=c(x)*e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'(x)=c'(x)*e^{\frac{1}{x}}+\frac{c(x)}{x^2}*e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf? $\begin{eqnarray*} y(x) = c \cdot e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ ist in keinster Weise eine homogene Lösung.

Abgesehen davon ist y'(x) falsch abgeleitet.

13.07.2011, 09:56

pablosen

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$\begin{eqnarray*} y'(x)=\frac{y(x)}{x}+x^3 , y(1)=1 \end{eqnarray*}$

gibt uns das die homogene Gleichung?

$\begin{eqnarray*} (*) y'(x)-\frac{y(x)}{x}=0 \end{eqnarray*}$

Hmm... warum ist da denn jetzt $\begin{eqnarray*} y_h=c*e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ keine Lösung für (*)? Hmm, setze das ein und das stimmt doch?

Mit
$\begin{eqnarray*} y(x)=c(x)*e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ ist
$\begin{eqnarray*} y'(x)=c'(x)*e^{\frac{1}{x}}-\frac{c(x)}{x^2}*e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$
sry

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit).

13.07.2011, 10:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von pablosen
$\begin{eqnarray*} (*) y'(x)-\frac{y(x)}{x}=0 \end{eqnarray*}$

Hmm... warum ist da denn jetzt $\begin{eqnarray*} y_h=c*e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ keine Lösung für (*)? Hmm, setze das ein und das stimmt doch?

Nein, wieso sollte das eine Lösung sein? verwirrt

13.07.2011, 10:18

pablosen

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Stimmt.

Mit
$\begin{eqnarray*} (*) y'(x)-\frac{y(x)}{x}=0 \end{eqnarray*}$

habe ich mit der homogenen Lösung

$\begin{eqnarray*} y_h=c*e^{\int\frac{1}{x} dx}=c*x \end{eqnarray*}$ dann nämlich keine Probleme mehr auf dem restlichen Lösungsweg und komme aufs Richtige.

Danke.

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