Kartesisches Produkt

01.07.2011, 18:34

SebastianK123

Kartesisches Produkt

Hallo matheboard,

habe mir eine Frage gestellt, die eher zum theoretischen
Verständnis von mir beiträgt.
Und zwar kam die Frage bei mir schon öfters auf,
dieses mal beim Satz über Implizite Funktionen (wikipedia).

Es geht kartesische Produkte der Form
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$

Oft wird das als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{n+m} \end{eqnarray*}$
gehandhabt. Streng formal stimmt das ja gar nicht oder.
Z.B. betrachen wir mal R und R².
dann ist ein Element aus R x R² für mich nunmal (1, (2,3)) und
nicht (1,2,3).

PS: Das Thema habe ich zuerst (falsch) ins Schulmathematik-Forum gestellt.
Kann man das bitte löschen

MfG
Sebastian

01.07.2011, 18:50

lgrizu

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RE: Kartesisches Produkt
Es gilt das Assoziativgesetz.

Es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2=\mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3=\mathbb R^2 \times \mathbb R=(\mathbb R \times \mathbb R) \times \mathbb R=\mathbb R \times \mathbb R \times \mathbb R=\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

01.07.2011, 18:56

tmo

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RE: Kartesisches Produkt

Zitat:

Original von SebastianK123
Z.B. betrachen wir mal R und R².
dann ist ein Element aus R x R² für mich nunmal (1, (2,3)) und
nicht (1,2,3).

Das ist formal schon richtig. Aber man beachte, dass die kanonische Abbildung

$\begin{eqnarray*} \mathbb R \times \mathbb R^2 \to \mathbb R^3, (a,(b,c)) \mapsto (a,b,c) \end{eqnarray*}$

eine Bijketion ist, die sich mit allem verträgt, was man auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ so definieren kann, d.h. mit der Vektorraumstruktur, mit der topologischen Struktur, etc..

Deswegen identifiziert man $\begin{eqnarray*} \mathbb R \times \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ einfach mit dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und verliert dann auch keine weiteren Worte mehr darüber.

01.07.2011, 18:59

SebastianK123

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RE: Kartesisches Produkt
Hallo tmo, deine Antwort gefällt mir.
Das hatte ich mir auch mal überlegt, es dann aber wohl wieder
vergessen.

zu Igrizu, danke für die Antwort.
Leider ist das aber falsch. Das kartesische Produkt ist
nicht assoziativ.

MfG
Sebastian

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