Gruppentafel der Ord 6 -> nicht abelsch

01.07.2011, 20:57

Konafets

Gruppentafel der Ord 6 -> nicht abelsch

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}[h]{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline$\cdot$ & $C_{1} $ & $C_{2}$ & $C_{3}$ & $C_{4}$ & $C_{5}$ & $C_{6}$ \hline $C_{1}$ & & & & & & $C_{5}$ \hline$C_{2}$ & & & & & & \hline$C_{3}$ & & & & & $C_{1}$ & \hline$C_{4}$ & & & & $C_{5}$ & & \hline$C_{5}$ & & & $C_{6}$ & & & \hline$C_{6}$ & & & & & & \hline\end{tabular} \end{eqnarray*}$
Ich möchte schon mal erklären, auf was ich selbst komme:
$\begin{eqnarray*} C_{1} * C_{6} = C_{5} C_{3} * C_{5} = C_{1} C_{4} * C_{4} = C_{5} C_{5} * C_{3} = C_{6} \end{eqnarray*}$

Gruppe der Ordnung 6 -> nicht kommutativ, nicht abelsch

Sein $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ das neutrale Element:
$\begin{eqnarray*} C_{i} \cdot e = e e \cdot e = e \end{eqnarray*}$

daraus folgt, dass:
$\begin{eqnarray*} e = C_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}[h]{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline$\cdot$ & $C_{1} $ & $C_{2}$ & $C_{3}$ & $C_{4}$ & $C_{5}$ & $C_{6}$ \hline $C_{1}$ & & $C_{1}$ & & & & $C_{5}$ \hline$C_{2}$ & $C_{1}$ & $C_{2}$ & $C_{3}$ & $C_{4}$ & $C_{5}$ & $C_{6}$ \hline$C_{3}$ & & $C_{3}$ & & & $C_{1}$ & \hline$C_{4}$ & & $C_{4}$ & & $C_{5}$ & & \hline$C_{5}$ & & $C_{5}$ & $C_{6}$ & & & \hline$C_{6}$ & & $C_{6}$ & & & & \hline\end{tabular} \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich dann nicht mehr weiter. Kann mir jemand von Euch paar Tips geben?

Vielen Dank schonmal
Stefano

02.07.2011, 01:29

Math1986

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RE: Gruppentafel der Ord 6 -> nicht abelsch
Überlege dir mal, welche Ordnungen die einzelnen Elemente haben können.

Betrachte mal
$\begin{eqnarray*} C_4 * C_4= C_5 \end{eqnarray*}$
und überlege dir mal die Ordnung von $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$

Denk mal in dieser Richtung weiter

03.07.2011, 18:10

Konafets

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RE: Gruppentafel der Ord 6 -> nicht abelsch
Ok, da will ich mal:

Da Elemente der Gruppe Ord6 die Ordnung 1., 2. oder 3. haben können und $\begin{eqnarray*} C_{4} \cdot C_{4} = C_{5} \end{eqnarray*}$ schon "belegt" ist -> $\begin{eqnarray*} C_{4} \end{eqnarray*}$ = Ord 3,

d.h.
$\begin{eqnarray*} C_{4} \cdot C_{4} \cdot C_{4} = C_{2} C_{4} \cdot C_{4} = C_{5} C_{4} \cdot C_{5} = C_{2} C_{5} \cdot C_{4} = C_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}[h]{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline$\cdot$ & $C_{1} $ & $C_{2}$ & $C_{3}$ & $C_{4}$ & $C_{5}$ & $C_{6}$ \hline $C_{1}$ & & $C_{1}$ & & & & $C_{5}$ \hline$C_{2}$ & $C_{1}$ & $C_{2}$ & $C_{3}$ & $C_{4}$ & $C_{5}$ & $C_{6}$ \hline$C_{3}$ & & $C_{3}$ & & & $C_{1}$ & \hline$C_{4}$ & & $C_{4}$ & & $C_{5}$ & $C_{2}$ & \hline$C_{5}$ & & $C_{5}$ & $C_{6}$ & $C_{2}$ & & \hline$C_{6}$ & & $C_{6}$ & & & & \hline\end{tabular} \end{eqnarray*}$

Durch "Sodoku" ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}[h]{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline$\cdot$ & $C_{1} $ & $C_{2}$ & $C_{3}$ & $C_{4}$ & $C_{5}$ & $C_{6}$ \hline $C_{1}$ & & $C_{1}$ & & $C_{3}$ & $C_{6}$ & $C_{5}$ \hline$C_{2}$ & $C_{1}$ & $C_{2}$ & $C_{3}$ & $C_{4}$ & $C_{5}$ & $C_{6}$ \hline$C_{3}$ & & $C_{3}$ & & $C_{6}$ & $C_{1}$ & \hline$C_{4}$ & $C_{6}$ & $C_{4}$ & $C_{1}$ & $C_{5}$ & $C_{2}$ & $C_{3}$ \hline$C_{5}$ & $C_{3}$ & $C_{5}$ & $C_{6}$ & $C_{2}$ & $C_{4}$ & $C_{1}$ \hline$C_{6}$ & & $C_{6}$ & & $C_{1}$ & $C_{3}$ & \hline\end{tabular} \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich mit Sodoku auch nicht mehr weiter, da für die offenen Felder mehrer Werte möglich sind.

03.07.2011, 19:50

Math1986

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RE: Gruppentafel der Ord 6 -> nicht abelsch

Zitat:

Original von Konafets
Ok, da will ich mal:

Da Elemente der Gruppe Ord6 die Ordnung 1., 2. oder 3. haben können und $\begin{eqnarray*} C_{4} \cdot C_{4} = C_{5} \end{eqnarray*}$ schon "belegt" ist -> $\begin{eqnarray*} C_{4} \end{eqnarray*}$ = Ord 3,

Welchen Satz verwendest du da?
Weshalb kann dieses Element nicht die Ordnung 6 haben?
Woran siehst du das?

Zitat:

Original von Konafets
Durch "Sodoku" ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}[h]{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline$\cdot$ & $C_{1} $ & $C_{2}$ & $C_{3}$ & $C_{4}$ & $C_{5}$ & $C_{6}$ \hline $C_{1}$ & & $C_{1}$ & & $C_{3}$ & $C_{6}$ & $C_{5}$ \hline$C_{2}$ & $C_{1}$ & $C_{2}$ & $C_{3}$ & $C_{4}$ & $C_{5}$ & $C_{6}$ \hline$C_{3}$ & & $C_{3}$ & & $C_{6}$ & $C_{1}$ & \hline$C_{4}$ & $C_{6}$ & $C_{4}$ & $C_{1}$ & $C_{5}$ & $C_{2}$ & $C_{3}$ \hline$C_{5}$ & $C_{3}$ & $C_{5}$ & $C_{6}$ & $C_{2}$ & $C_{4}$ & $C_{1}$ \hline$C_{6}$ & & $C_{6}$ & & $C_{1}$ & $C_{3}$ & \hline\end{tabular} \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich mit Sodoku auch nicht mehr weiter, da für die offenen Felder mehrer Werte möglich sind.

Es gilt nun:
$\begin{eqnarray*} C_6\cdot C_6=C_4 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} C_6\cdot C_6=C_2 \end{eqnarray*}$
Einen dieser Fälle kannst du zu einem Wiederspruch führen (auch wieder über die Ordnung des Elementes)

03.07.2011, 22:52

Konafets

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RE: Gruppentafel der Ord 6 -> nicht abelsch

Zitat:

Original von Math1986

Welchen Satz verwendest du da?
Weshalb kann dieses Element nicht die Ordnung 6 haben?
Woran siehst du das?

Ich habe es einfach probiert. Ich habe mich auch schon gefragt, wie ich das beweisen kann.

Zitat:

1. Annahme $\begin{eqnarray*} C_6\cdot C_6=C_4: \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_6 \end{eqnarray*}$ = Ord6

$\begin{eqnarray*} C_6\cdot C_6\cdot C_6\cdot C_6\cdot C_6\cdot C_6 = C_2 C_4\cdot C_4\cdot C_4 = C_2 C_5\cdot C_4 = C_2 \end{eqnarray*}$
Kein Widerspruch

2. Annahme $\begin{eqnarray*} C_6\cdot C_6=C_2: \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_6 \end{eqnarray*}$ = Ord6

$\begin{eqnarray*} C_6\cdot C_6\cdot C_6\cdot C_6\cdot C_6\cdot C_6 = C_2 C_2\cdot C_2\cdot C_2 = C_2 C_2\cdot C_2 = C_2 \end{eqnarray*}$
Kein Widerspruch

3. Annahme: $\begin{eqnarray*} C_6 \end{eqnarray*}$ = Ord3

bei beiden Varianten gibt es Widersprüche mit existierenden Verknüfungen

04.07.2011, 00:15

Math1986

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RE: Gruppentafel der Ord 6 -> nicht abelsch

Zitat:

Original von Konafets

Ich habe es einfach probiert. Ich habe mich auch schon gefragt, wie ich das beweisen kann.

Ich wollte hier auf den Satz von Lagrange raus.
Wenn es ein Element der Ordnung 6 gäbe dann wäre die Gruppe zyklisch und somit auch abelsch.
Es gibt also kein Element der Ordnung 6.

Zitat:

Original von Konafets

2. Annahme $\begin{eqnarray*} C_6\cdot C_6=C_2: \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_6 \end{eqnarray*}$ = Ord6

Dass ist ein Wiederspruch in sich, wenn $\begin{eqnarray*} C_6\cdot C_6=C_2: \end{eqnarray*}$ gilt dann hat das Element die Ordnung 2

Mach mal eine Fallunterscheidung nach der Ordnung von $\begin{eqnarray*} C_6 \end{eqnarray*}$

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