Gleichmäßige Stetigkeit

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phoney Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Stetigkeit
Untersuche, ob gleichmäßig stetig ist.


Hallo.

ES muss ja für gleichmäßige Stetigkeit gelten, dass f(x) auch stetig ist. Also

Das stimmt, denn f(x) ist an der Stelle x_0, die im Intervall liegt, definiert und
der Grenzwert exisitert



und ist gleich f(x_0) sein





Was ist hier eigentlich mit dem linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert, muss ich den nich auch machen? (Wüsste aber nicht, wie das mit x_0+0 und x_0-0 gehen soll). Für konkrete Zahlenwerte könnte ich dann eine etwas kleinere Zahl einsetzen (was ja eigentlich "verboten" ist, aber anders wüsste ich mir nicht zu helfen)


Für gleichmäßige Stetigkeit muss ja nach Definition gelten,
mit und

Ich kenne das so, dass man das auch allgemein zeigt, durch einen Widerspruchsbeweis, es gäbe epsilon>0, für das diese Ungleichung nicht erfüllt ist.

Wie also weitermachen?

(Über die Suche habe ich auch keine ähnlichen Aufgaben gefunden, d. h. über Links, wo es hier um gleichmäßige Stetigkeit anHand von konkreten Aufgaben auf diesem Niveau geht, würde ich mich auch sehr dolle freuen!)

Grüße von
Phoney
mercany Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Zitat:
Original von phoney
ES muss ja für gleichmäßige Stetigkeit gelten, dass f(x) auch stetig ist. Also


Nein, das stimmt!
Ist gleichmäßg stetig auf einer Menge , so ist auch in jedem Punkt stetig. Der Umkehrschluss ist allerdings (bis auf Ausnahmen) nicht korrekt.

Deine Funktion ist das beste Beispiel dafür. Augenzwinkern

Dein hängt hierbei nämlich nur vom ab, nicht noch von .



Zur Aufgabe:

Für betrachte , . Daraus folgt, das . Jedoch ist und daraus folgt dann....

Bekommst du das zusammen?


\edit: Lösungsansatz verbessert, meiner war Unsinn!



Gruß, mercany
phoney Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Zitat:
Original von mercany
Zitat:
Original von phoney
ES muss ja für gleichmäßige Stetigkeit gelten, dass f(x) auch stetig ist. Also


Nein, das stimmt!



Hää?

Zitat:
Original von mercany
Ist gleichmäßg stetig auf einer Menge , so ist auch in jedem Punkt stetig. Der Umkehrschluss ist allerdings (bis auf Ausnahmen) nicht korrekt.

So meinte ich es auch

Gleichmäßige Funktionen sind ebenfalls stetig.

Stetige Funktionen müssen nicht gleichmäßig stetig sein.

Zitat:
Original von mercany
Deine Funktion ist das beste Beispiel dafür. Augenzwinkern

Dein hängt hierbei nämlich nur vom ab, nicht noch von .



Zur Aufgabe:

Für betrachte , . Daraus folgt, das . Jedoch ist und daraus folgt dann....

Bekommst du das zusammen?


Ähm, leider nicht.

Also ich mache mal da weiter, wo du aufgehört hast:





eingesetzt ergibt sich



Die Funktion war x^2. Also





Was sagt mir das jetzt? verwirrt
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Stetigkeit
Zitat:
Original von phoney


eingesetzt ergibt sich



Schau das nochmal ganz scharf an, hier stimmt was nicht.

Abgesehen davon, ist das hier insgesamt kein Stetigkeitsbeweis. Denn du setzt für und jeweils konkrete Werte ein und zeigst somit auch nur Stetigkeit für diese Werte. Eine Funktion ist aber nur dann stetig, wenn sie in allen ihren Punkten stetig ist. Und das musst du zeigen. Gleichmäßige Stetigkeit ergibt sich dann, wenn du eine von unabhängige Epsilon-Delta-Relation findest.

Ich gebe dir mal einen kleinen Ansatz:
Sei beliebig
und es gelte
Dann gilt:


wie könnte es jetzt weitergehen?
phoney Auf diesen Beitrag antworten »

Moin.



Dort setzt man die Werte x_0 und x_1 ein.

, .

Also





Und nun?



Wurzelziehen etc. bringt mich nicht voran traurig

Liebe Grüße,
Phoney
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast scheinbar nur die Hälfte von dem gelesen, was ich geschrieben habe.
Du setzt für x keine Werte ein, auch keine von Delta abhängigen Werte.
Du musst die Aussage für jedes x zeigen!

bleibe mal bei dem, was ich oben geschrieben habe, woran musst du denn bei der Differenz zweier Quadrate denken?

...

3. Binomische Formel! Richtig!

Und damit erhälst du?
 
 
phoney Auf diesen Beitrag antworten »



Dann weiss ich noch, dass

Und nun betrachte ich x_0 und x_1 als konvergente Folgeund folgere, dass sie den selben Grenzwert haben. Das heisst, ich habe noch x_0+x_1 (die ja denselben Grenzwert haben). Somit wäre dann 2a (a Grenzwert) < epsilon und Null kleiner Delta verwirrt
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Na das sieht schon viel besser aus. Freude

Aber wieder darfst du am Ende nicht einfach für x etwas einsetzen.
eigentlich bist du mit



schon fertig, denn die Summe bekommst du nicht mehr weg. Du kannst sie noch wie folgt etwas abändern:

(Warum gilt das?)

Somit hast du gezeigt, dass deine Epsilon-Delta-Relation immer von x abhängt.

Denn damit ist, musst du nur so wählen, dass gilt.

Dies bedeutet, dass du für jedes beliebige Epsilon und jedes ein Delta findest, so dass das Bild der Delta-Umgebung von in der Epsilon-Umgebung von liegt. Und genau das sagt Stetigkeit aus.

Um letztendlich gleichmäßige Stetigkeit auszuschließen (man könnte ja auch einfach nur zufällig nicht in der Lage sein, eine geeignete Abschätzung zum Nachweis der glm. Stetigkeit zu finden), könntest du zB zeigen, dass die Ableitung von nicht beschränkt ist. Weißt du, warum dann glm. Stetigkeit nicht gelten kann?

Grüße!
phoney Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


(Warum gilt das?)



Das gilt nach der Dreiecksungleichung, oder?

Zitat:

Um letztendlich gleichmäßige Stetigkeit auszuschließen (man könnte ja auch einfach nur zufällig nicht in der Lage sein, eine geeignete Abschätzung zum Nachweis der glm. Stetigkeit zu finden), könntest du zB zeigen, dass die Ableitung von nicht beschränkt ist. Weißt du, warum dann glm. Stetigkeit nicht gelten kann?


Ne, mit beschränkten Ableitungen kann ich leider gar nichts anfangen
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phoney
Zitat:


(Warum gilt das?)



Das gilt nach der Dreiecksungleichung, oder?


Eigentlich habe ich nur beide Summanden gegen nach oben abgeschätzt, da dies ja offensichtlich das Supremum der Delta-Umgebung von ist.


Zitat:
Original von phoney
Zitat:

Um letztendlich gleichmäßige Stetigkeit auszuschließen (man könnte ja auch einfach nur zufällig nicht in der Lage sein, eine geeignete Abschätzung zum Nachweis der glm. Stetigkeit zu finden), könntest du zB zeigen, dass die Ableitung von nicht beschränkt ist. Weißt du, warum dann glm. Stetigkeit nicht gelten kann?


Ne, mit beschränkten Ableitungen kann ich leider gar nichts anfangen


Hmm, ich glaube, ich habe dich angeschwindelt, Sorry! Ich verwechselte das mit der Lipschitz-Stetigkeit (musst du jetzt nicht kennen). Jetzt bin ich etwas konfus und möchte dich nicht mit weiteren Vermutungen verwirren. Vielleicht kennt ja noch jemand anderes hier im Forum ein gutes Gegenargument für gleichmäßige Stetigkeit. Aber falls nicht, bei mir hat damals obige Abschätzung zum Widerlegen der glm. Stetigkeit für volle Punktzahl ausgereicht. Augenzwinkern

Je nachdem wie streng dein Kontrolleur ist. Big Laugh
phoney Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar!

Vielen Dank! Konnte alles gut nachvollziehen (auch wenn ich da am Anfang so Schwierigkeiten hatte)
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