Hilfe bei inhomogenen Ansatz DGL 2.Ordnung

01.07.2011, 22:39

dub89

Hilfe bei inhomogenen Ansatz DGL 2.Ordnung

Folgende DGL 2.Ordnung ist gegeben: $\begin{eqnarray*} 2y'' - 4y' + 30y = (x+2)*e^{5x} \end{eqnarray*}$

Für die homogene Lösung bekomme ich (durch den Ansatz: $\begin{eqnarray*} y=e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} yh = C1 \cdot e^{5x} + C2 \cdot e^{-3x} \end{eqnarray*}$ . Dies stimmt lt. Lösung überein.

Nun aber zum Problem der inhomogenen Lösung:
Diese sollte folgendermaßen aussehen: $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{32}\cdot x^{2} + \frac{15}{128}) \cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$
Ich komme aber leider nicht auf diese Lösung.

Ich habe $\begin{eqnarray*} (x+2)*e^{5x} \end{eqnarray*}$ ausmultipliziert und dann yp1 mit dem Ansatz: $\begin{eqnarray*} yp1 = Axe^{5x} \end{eqnarray*}$ und yp2 mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} yp2 = Ae^{5x} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet. Wobei bei yp2 der Ansatz Teil der homogenen Lösung ist - also habe ich das Ganze noch mit x multipliziert. Bei yp1 erhalte ich für A gleich $\begin{eqnarray*} \frac{x}{16} \end{eqnarray*}$ und bei yp2 erhalte ich für A gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ . Hat jemand eine Idee, was ich da falsch mache - darf man überhaupt den rechten Teil der Gleichung ausmultiplizieren?

Angenommen ich multipliziere den rechten Teil der Gleichung nicht aus ... wie sieht es dann mit dem Ansatz aus. Wäre dann (Ax+B) \cdot Ae^{5x} richtig? Wobei - hier müsste man diesen Ansatz dann auch wieder mit x multiplizieren, weil er Teil der homogenen Lösung wäre - oder?

Danke schon mal im Voraus! Augenzwinkern

01.07.2011, 23:35

Johnsen

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Hi Dub!

Ich denke, du hast dich vertippt bei der Angabe, es müsste -30y sein, dann stimmt dein homogene Lösung :-)

Nun zur inhomogenen:

Dein Ansatz mit $\begin{eqnarray*} y=(Ax+B)\cdot x\cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$ klappt sehr gut! Und die gegebene Lösung ist falsch, hier wurde schlampig eingesetzt und nicht aufgepasst, wo wann ein x steht!
Die richtige Lösung lautet nämlich:

$\begin{eqnarray*} y(x)\,=\,\left(\frac{1}{32}\cdot x + \frac{15}{128}\right)\cdot x\cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$

Gruß

Johnsen

01.07.2011, 23:46

dub89

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Zitat:

Original von Johnsen
Ich denke, du hast dich vertippt bei der Angabe, es müsste -30y sein, dann stimmt dein homogene Lösung :-)

Du hast natürlich recht - ein Tippfehler - entschuldige.

Da ich nun weiß, dass der Ansatz $\begin{eqnarray*} (Ax+B) \cdot x \cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$ klappt, werde ich es gleich noch einmal probieren. =)

Der Ansatz, bei welchem vorher ausmultipliziert wird (also man hat dann auf der rechten Seite der Gleichung $\begin{eqnarray*} x \cdot e^{5x} + 2 \cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} (x+2) \cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$ ) funktioniert aber nicht - oder? Also rein vom logischen Standpunkt her, müsste dieser eigentlich auch korrekt sein. Der Ansatz besteht dann eben nur aus zwei partiellen Ansätzen (yp1 + yp2) ... egal, ich werde es einfach mal ausprobieren.

Danke jedenfalls.

01.07.2011, 23:48

Johnsen

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Ob du ausmultiplizierst oder nicht, macht ja mathematisch gesehen nichts aus, dann lautet dein Ansatz eben:

$\begin{eqnarray*} Ax^2\cdot e^{5x}+Bx\cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$

Aber ist doch schöner und kompakter, wenn man es so stehen lässt :-)

Gruß Johnsen

02.07.2011, 00:01

dub89

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Zitat:

Original von Johnsen
$\begin{eqnarray*} Ax^2\cdot e^{5x}+Bx\cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$

Hmm, ... ich bin zwar überzeugt, dass dein Ansatz richtig ist, aber irgendwie habe ich dennoch ein kleines Verständnisproblem:
Für $\begin{eqnarray*} x \cdot e^{5x} + 2 \cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$ nimmt man den Ansatz $\begin{eqnarray*} Ax \cdot e^{5x} + B \cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$ . Diesen hätte ich jetzt in yp1: $\begin{eqnarray*} Ax \cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$ und yp2: $\begin{eqnarray*} B \cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$ unterteilt.
Für die inhomogene Lösung gilt: yp = yp1 + yp2
Nun ist yp2 Teil der homogenen Lösung, yp1 aber nicht: $\begin{eqnarray*} yh = C1 \cdot e^{5x} + C2 \cdot e^{-3x} \end{eqnarray*}$
Wäre da nicht der Ansatz: $\begin{eqnarray*} Ax \cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$ und yp2: $\begin{eqnarray*} B \cdot x \cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$ der richtige? Da yp1 nicht Teil der homogenen Lösung ist, muss dieser doch nicht mit x multipliziert werden - oder?

02.07.2011, 00:13

Johnsen

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x \cdot e^{5x} + 2 \cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$ nimmt man den Ansatz $\begin{eqnarray*} Ax \cdot e^{5x} + B \cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$

Nein, man nimmt den Ansatz:

$\begin{eqnarray*} Ax^2 \cdot e^{5x} + Bx \cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$

Sehs doch so:

Du hast die Klammer und wir nennen die Klammer K:

$\begin{eqnarray*} K \cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$

Und da diese Lösung bereits in der homogenen Lösung vorkommt, musst du nun

$\begin{eqnarray*} K\cdot x \cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$

nehmen.

Und dann kommst du genau zu dem Ansatz von mir

02.07.2011, 11:09

dub89

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Danke nochmal!
Vor dem Koeffizientenvergleich kommt mir nun $\begin{eqnarray*} 32Ax \cdot e^{5x} + 16B \cdot e^{5x} + 4A \cdot e^{5x} = x \cdot e^{5x} + 2e^{5x} \end{eqnarray*}$ raus.
Löst man diesen, erhält man das gewünschte Ergebnis. =)

Eigentlich ist es eh nicht so schwer. Im Prinzip hat man eben statt der gewohnten Form des Ansatzes $\begin{eqnarray*} "Ae^{kx}" \end{eqnarray*}$ nun $\begin{eqnarray*} "(Ax + B) \cdot e^{kx}" \end{eqnarray*}$ , weil eben nicht nur eine Konstante vor der Exponentialfunktion, sondern eine Variable mit Konstante davor steht.

Angenommen der inhomogene Teil der Gleichung wäre $\begin{eqnarray*} cos(4x) \cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$ .
Dann wäre der passende Ansatz: $\begin{eqnarray*} yp = [Acos(gx) + Bsin(gx)] \cdot e^{kx} \end{eqnarray*}$ ?
Hier müsste man dann ebenfalls wieder mit x multiplizieren, weil ebenfalls Teil der homogenen Lösung.

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