Aufgabe zu offenen Mengen

01.07.2011, 22:54	_-Alex-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu offenen Mengen Hallo, ich habe hier folgende Aufgabe: Man ist im R^n mit der euklidischen Metrik und der dadurch induzierten Topologie. Sei $\begin{eqnarray} A = \lbrace x \in \mathbb{R}^n : -1 < x_i \leq 1 \forall i \in \lbrace 1,..,n \rbrace \rbrace \end{eqnarray}$ Welche der folgenden Mengen sind offen in A? $\begin{eqnarray} M = \lbrace x \in \mathbb{R}^n : -1 < x_i \leq 0 \forall i \in \lbrace 1,...,n \rbrace \rbrace \end{eqnarray}$ Ich hab mir das jetzt mal im R^2 vorgestellt. Und da ist M ja ein 4-Eck im 3. Quadraten. Um zu zeigen, dass die Menge offen ist, muss ich doch zeigen, dass für jedes x eine offene Kreisscheibe existiert, die in M liegt oder? Den Radius dieser Kreisscheibe hätte ich jetzt so gewählt: $\begin{eqnarray} \epsilon = 1- max_{i \in \lbrace 1,..,n\rbrace } ( \lvert x_i \rvert ) \end{eqnarray}$ Jetzt hätte ich halt gesagt, wenn ein y in dieser Scheibe liegt, gilt: $\begin{eqnarray} x_i - y_i < 1 - max_{i \in \lbrace 1,..,n \rbrace } (\lvert x_i \rvert ) \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt prüfe ob y in M liegt komme ich auf einen Widerspruch, also wäre die Menge nicht offen, stimmt das? MfG
02.07.2011, 09:24	Wetal	Auf diesen Beitrag antworten »
nimm einfach x =0-vektor. der ist offensichtlich in M, aber du findest keine epsilonumgebung, die immernoch ganz in M liegt. warum ist das so? nun ja, x liegt genau auf dem rand dieser menge. es müsste sonst ein epsilon >0 geben, sodass x + (epsilon, 0, ..., 0)^T noch in M liegt.

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