Polynome (Ableitung & Extremalstellen)

02.07.2011, 00:12

Michael B.

Polynome (Ableitung & Extremalstellen)

Meine Frage:
Hallo zusammen,

Ich versuche mich an folgender Aufgabe.
Gegeben sind die Polynome $\begin{eqnarray*} p(x) = x^2-x-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q(x) = p(p(x))+(p(x))^2-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$

a) Bestimme die Extermalstellen und Extermalwerte von q

Meine Ideen:
Zuerst muss ich q(x) ableiten um die Extremalstellen zu berechnen - schon bei dem Schritt habe ich das Gefühl, dass ich total auf dem Holzweg bin. Hier meine Lösungsversuche:

$\begin{eqnarray*} q(x) = (p(p(x)))'+((p(x))^2)'-(\frac{1}{2})' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (p(p(x)))' \end{eqnarray*}$
Kettenregel anwenden

$\begin{eqnarray*} u' = (x^2-x-\frac{1}{2})' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u' = (2x-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v' = (x^2-x-\frac{1}{2})' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = (2x-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (p(p(x)))' = u'(v)*v' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (p(p(x)))' = 2(x^2-x-\frac{1}{2})-1*(2x-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (p(p(x)))' = 2(x^2-x-\frac{1}{2})-2x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (p(p(x)))' = 2x^2-2x-2*\frac{1}{2}-2x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (p(p(x)))' = 2x^2-4x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (p(p(x)))' = x-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((p(x))^2)' = ((x^2-x-\frac{1}{2})^2)' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=2x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((p(x))^2)' = 2(x^2-x-\frac{1}{2})*2x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((p(x))^2)' = 2x^2-2x*2x-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((p(x))^2)' = 2x^2-4x^2-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((p(x))^2)' = -2x^2-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((p(x))^2)' = -x^2-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{2})' = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q(x)' = x-2-x^2-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q(x)' = -x^2+x-3 \end{eqnarray*}$

Danke für nen Tipp wie ich das angehen soll.

Gruss
Michael

02.07.2011, 08:18

addor

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RE: Polynome (Ableitung & Extremalstellen)
Steht denn irgendwo, dass man $\begin{eqnarray*} p(p(x)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (p(x))^2 \end{eqnarray*}$ nicht einsetzen und ausrechnen darf? Ich erhalte für $\begin{eqnarray*} q(x) \end{eqnarray*}$ ein relativ einfaches Polynom 4. Grades, das sich leicht ableiten lässt.

02.07.2011, 08:53

Michael B.

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Hallo addor,

Danke für die Antwort!
Vom Einsetzen/Ausmultiplizieren hat uns der Lehrer sehr abgeraten und uns gesagt, wir sollen in die Produkt oder Kettenregel benutzen und faktorisieren.

Michael

02.07.2011, 20:35

Michael B.

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(kann leider mein Beitrag nicht editieren)

Bin ich denn überhaupt auf dem richtigen Weg?

MfG
Michael

03.07.2011, 09:48

addor

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Ich verstehe nicht, weshalb Du u und v definierst.

$\begin{eqnarray*} p(p)=p^2-p-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} q=p(p)+p^2-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} q=2p^2-p-1 \end{eqnarray*}$

Dann gibt $\begin{eqnarray*} q'=4pp'-p' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p'(x)=2x-1 \end{eqnarray*}$

Kannst Du weiter machen?

03.07.2011, 14:35

Michael B.

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Zitat:

Original von addor
Ich verstehe nicht, weshalb Du u und v definierst.

Ich habe versucht p(p)) mit der Kettenregel zu lösen, da ist ja die "äussere" Funktion u und die "innere" v (habe mich an den Bezeichnungen auf Wikipedia orientiert) - meine Vorgehensweise ist aber mit extrem viel mehr Aufwand verbunden als die Lösung von dir.

$\begin{eqnarray*} p' = 2x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(p) = p^2 -p-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q = p(p)+p^2-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q = p^2 -p-\frac{1}{2} + p^2 -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q = 2p^2 -p-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q' = (2p^2)'-p' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q' = 4pp' - p' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q' = 4*(x^2-x-\frac{1}{2})*(2x-1)-(2x-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q' = 4x^2-4x-2*(2x-1)-2x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q' = 8x^3-12x^2-2x+3 \end{eqnarray*}$

Die Extremalstellen erhalte ich nun, wenn ich $\begin{eqnarray*} q'=0 \end{eqnarray*}$ setze.
Die gefundenen Nullstellen in $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ einsetzen um die Extremalwerte zu erhalten. Soviel zur Theorie - ich versuche das jetzt mal auszurechnen smile

Danke addor für deine Hilfe!

Gruß
Micha

03.07.2011, 16:43

addor

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Bitte nicht ausrechnen, sondern $\begin{eqnarray*} 2x-1 \end{eqnarray*}$ ausklammern, sonst hast Du dann Mühe, die Gleichung 3. Grades zu lösen

03.07.2011, 17:03

Michael B.

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So sieht meine Lösung aus:

Ich habe $\begin{eqnarray*} 8x^3-12x^2-2x+3 \end{eqnarray*}$ faktorisiert: $\begin{eqnarray*} (2x-1)(2x+1)(2x-3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2x-1)(2x+1)(2x-3)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x-1=0 \rightarrow x_1=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x+1=0 \rightarrow x_2=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x-3=0 \rightarrow x_3=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Extremalwert 1 $\begin{eqnarray*} q(\frac{1}{2}) \rightarrow y_1=-\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
Extremalwert 2 $\begin{eqnarray*} q(-\frac{1}{2}) \rightarrow y_2=-\frac{5}{4} \end{eqnarray*}$
Extremalwert 3 $\begin{eqnarray*} q(\frac{3}{2}) \rightarrow y_3=-\frac{5}{4} \end{eqnarray*}$

Gruß
Micha

03.07.2011, 21:40

addor

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prima!

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