Inhomogene DGL Variation der Konstanten

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El Rey Auf diesen Beitrag antworten »
Inhomogene DGL Variation der Konstanten
Meine Frage:
hallo liebes forum Augenzwinkern

ich soll folgende DGL mit der Methode der Variation der Konstanten lösen



die homogene hab ich auch schon gelöst



Meine Ideen:
jez komm ich bei der inhomogenen nich weiter

i-wie folgenden ansatz:


ableiten ergibt:



einsetzen ergibt:



aber wie soll ich jez weiter machen ??
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

deine homogene lösung scheint wild zusammengewüfelt zu sein. was war da dein ansatz?

wenn ich deine homogene lösung versuche in die hom. diffgleichung einzusetzen, bekomme ich

El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

einfach einmal ableiten


dann in dgl einsetzen







wo is der fehler ??
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

So wie du abgeleitet hast, nimmst du an, dass . Dann folgt direkt der Widerspruch zur Annahme, als da



steht, weil Sinus sicherlich nicht konstant für alle t ist. Überleg nochmal wie du die homogene Gleichung

lösen kannst.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

wie soll ichs stattdessen machen ??

mit trennung der variablen müsste es auch gehen oder nich ??
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von El Rey
wie soll ichs stattdessen machen ??

mit trennung der variablen müsste es auch gehen oder nich ??


Du sagst es. Da gibts für diese Art von Aufgaben aber auch eine allgemeine Lösung. Die könntest du auch nehmen. Oder zunächst herleiten für alle Diffgleichungen der Form:

.
 
 
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

ja trennung der variablen kann ich schon Augenzwinkern

dann kommt raus

oder nich ?? verwirrt
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

sieht schon viel besser aus. Du hast wohl die Konstante vergessen. übrigens lautet der allgemeine ansatz für solche aufgaben



mit .

das ist eine hübsche übung, diese gleichheit zu zeigen.

\edit: dann versuch nun mal die variation der konstante
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

ich habs ina vorlesung ohne konstante gelernt

aber mach ich das jez beim inhomogenen fall ??
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

es kommen immer konstanten dazu, weil wir für das homogene kein anfangswert gegeben haben und es somit unendlich viele Lösungen gibt.

Die homogene lösung lautetet also .

Varaition der Konstanten sagt: nehme an, dass die inhomogene lösung die form



hat, wobei c=c(t) eine Funktion von t ist. Dann setze mal diese lösung deiner differentialgleichung in die diffgleichung ein und versuche c(t) zu bestimmen.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

oki dann komm ich auf



dann für die allgm. lsg



aber kommt das mit der anfangbed. hin ??

???
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

was ist jetzt ? du sollst einfach ausrechnen.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

soll die partikuläre lsg sein also mit

dann muss ich mich auch korrigieren

Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man es richtig durchziehen will, ist



wobei c irgend eine Konstante ist, die durch jede Integration zustande kommt, falls man keine konkrete integrationsgrenzen vorgibt. Dann setzt man c(t) in unsere angenommene lösung ein und erhält:



Da du den Anfangswert gegeben hast, ergibt sich c und damit die Lösung

El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

wie kommst du jez auf ??
das is mir i-wie noch nich klar
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

nach deiner aussage ist die bedingung u(0) = 1. setze also t = 0 in



ein. Dann erhält man sofort

Daraus folgt, dass c= e sein muss.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

aso ja stimmt ich danke dir Augenzwinkern
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

aber ergibt sich für die gesamtlösung dann nich für

bei



oder hab ich mich da i-wo verrechnet ??
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

wo kommt die 1 her? ich finde das übrigens nicht so schön mit zu argumentieren. meiner meinung nach werden die leute dadurch nur verwirrt. ich denke ich hab schritt für schritt erklärt wie man zu der endlösung u(t) kommt. da wird keine 1 addiert.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

von der homogenen lsg oder nich ??

oder muss man jez erst die u_p und u_h zusammen setzen und dann noch A bestimmen ??
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

so wie ich u(t) hier auf dieser seite oben angeschrieben habe ist die lösung. da gibts kein A, kein u_h oder h_p
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

aso ich dachte immer das is mit superposition jez versteh ich erst das prizip mit den variation der konstanten

ich danke dir Augenzwinkern
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

freut mich, wenn du das wirklich verstanden hast smile
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