Faltungsformel, zwei Poisson verteilte ZV

02.07.2011, 15:32

hamlax

Faltungsformel, zwei Poisson verteilte ZV

Hallo,

ich komme irgendwie bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ein kleiner Denkanstoß wäre echt prima

Die Aufgabe lautet:

X und Y seinen zwei unabhängige poisson verteilte ZV mit Parametern lambda1 und lambda2. Zeigen sie mit der Faltungsformel, dass X + Y Poisson verteilt mit Parameter lampda1+lambda2 ist.

Ok, was wir haben ist ja erstmal folgendes:

$\begin{eqnarray*} P_Z(Z=z) = \sum_x \frac{\lambda_1^x}{x!} \cdot e^{-\lambda_1} \cdot \frac{\lambda_2^{z-x}}{(z-x)!} \cdot e^{-\lambda_2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \cdot \sum_x \frac{\lambda_1^x}{x!} \cdot \frac{\lambda_2^{z-x}}{(z-x)!} \end{eqnarray*}$

So und nun steh ich da mit meinem Talent.

Wir wollen ja so ungefähr dort hin

$\begin{eqnarray*} P_Z(Z=z) = \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)^z}{z!} \cdot e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie will das hier nicht so ganz :-!

Besten Dank für eure Hilfe schonmal smile

02.07.2011, 15:41

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Faltungsformel, zwei Poisson verteilte ZV

Zitat:

Original von hamlax
$\begin{eqnarray*} = e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \cdot \sum_x \frac{\lambda_1^x}{x!} \cdot \frac{\lambda_2^{z-x}}{(z-x)!} \end{eqnarray*}$

Erweitere hier mal mit $\begin{eqnarray*} \frac{z!}{z!} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \cdot \sum_x \frac{\lambda_1^x}{x!} \cdot \frac{\lambda_2^{z-x}}{(z-x)!}\frac{z!}{z!} \end{eqnarray*}$

PS: Du solltest dir die Summationsgrenzen mal sauber aufschreiben, von wo bis wo wird denn hier summiert?

02.07.2011, 16:08

hamlax

Auf diesen Beitrag antworten »

Boaaahhh ... ist das euer erst ?? Gott

$\begin{eqnarray*} = e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \cdot \sum_x \frac{\lambda_1^x \cdot \lambda_2^{z-x} \cdot z!}{z! \cdot x! \cdot (z-x)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \cdot \sum_x { z \choose x}\frac{\lambda_1^x \cdot \lambda_2^{z-x}}{z! } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \cdot \frac{1}{z!} \sum_x { z \choose x}\lambda_1^x \cdot \lambda_2^{z-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \cdot \frac{1}{z!} (\lambda_1 + \lambda_2)^z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \cdot \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)^z}{z!} \end{eqnarray*}$

kommt das so hin ??

02.07.2011, 16:19

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hamlax

kommt das so hin ??

Kommt hin, du solltest aber mal sauber die Summationsgrenzen aufschreiben
$\begin{eqnarray*} = \sum_x \end{eqnarray*}$
Von wo bis wo läuft denn das x ?

02.07.2011, 16:22

hamlax

Auf diesen Beitrag antworten »

das wusste ich bis grad selber noch nicht so genau ...

aber ich dachte mir, irgendwie muss ich den binomialkoeffizienten da hinkriegen, also wird es wohl von x = 0 bis z laufen müssen ... oder ?

02.07.2011, 16:39

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hamlax
aber ich dachte mir, irgendwie muss ich den binomialkoeffizienten da hinkriegen, also wird es wohl von x = 0 bis z laufen müssen ... oder ?

Ja, eben, die Poisson-Verteilung besitzt ja auch nur positive Werte, folglich kann auch keiner der Summanden größer als z werden.

02.07.2011, 17:01

hamlax

Auf diesen Beitrag antworten »

Oki .. besten dank :-)

Neue Frage »

Antworten »

Faltungsformel, zwei Poisson verteilte ZV

Verwandte Themen