Matrixdarstellung ermitteln

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dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixdarstellung ermitteln
Es sei . Ermitteln sie eine Matrixdarstellung relativ zu den Basen des R³ und R². und .
Hinweis: A bestimmt eine lineare Abbidlung wobei als Spaltenvektor geschrieben wird.


Ich bin bei der Aufgabe ein wenig unsicher...

Bedeutet dieser Hinweis, dass die Lineare Abbildung so lautet: F(x,y,z)=(2x+5y+-3z,x-4y+7z)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

[Artikel] Basiswechsel
 
 
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

das hilft mir gerade leider nur bedingt weiter...

aber aus den link entnehme ich zumindest, dass die Abbildung dieser
F(x,y,z)=(2x+5y+-3z,x-4y+7z) entspricht?


oder?

dann wäre



Als Matrix hätte ich dann



da


tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

"Nein". Die Frage ist, bzgl. welcher Basen ist



zu verstehen. Wir gehen von den Standardeinheitsbasen der IR³ bzw. des IR² aus und die Aufgabe verlangt die Berechnung der darstellenden Matrix bzgl. der anderen angegeben Basen. Somit lauten die Teilaufgaben:

Bestimme die Basiswechselmatrizen
Bestimme die darstellende Matrix bzgl. der neuen Basen als Produkt aus A und den Basiswechselmatrizen

(siehe Schema im Link)
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe diesen workshop aber nicht und über Basiswechselmatrizen wurde in Vorlesung und Übung noch nie ein Wort verloren
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist das eben schlecht in der Vorlesung. Man kann es natürlich auch zu Fuß ausrechnen, also Schrittweise umrechnen, was aber nicht mehr als einen "Einführenden Beispiel Charakter" haben sollte. Augenzwinkern

Schritt 1:
1. Auf was bildet A die Einheitsvektoren ab?
2. Wie stellen sich die neuen Basisvektoren als Linearkombinationen dieser Basisvektoren da?

Damit hattest du schon angefangen. Schreib es aber mal systematischer auf, um besser zu verstehen, was passiert.
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Dann ist das eben schlecht in der Vorlesung. Man kann es natürlich auch zu Fuß ausrechnen, also Schrittweise umrechnen, was aber nicht mehr als einen "Einführenden Beispiel Charakter" haben sollte. Augenzwinkern

Ich Studiere auf GHR Lehramt und besuche die Vorlesung "Grundzüge der Linearen Algebra" und nicht LA 1 oder 2 wie das beim Mathestudium oder beim Lehramt Gym der Fall wäre...
vielleicht ist das der Grund


Zitat:
Original von tigerbine
Schritt 1:
1. Auf was bildet A die Einheitsvektoren ab?




F(1,0,0)=(2*1+5*0+-3*0,1*1+-4*0+7*0)=(2,1)

F(0,1,0)=(2*0+5*1+-3*0,1*0+-4*1+7*0)=(5,-4)

F(0,0,1)=(2*0+5*0+-3*1,1-0+-4*0+7*1)=(-3,7)



Zitat:
Original von tigerbine
2. Wie stellen sich die neuen Basisvektoren als Linearkombinationen dieser Basisvektoren da?


Ich verstehe nicht genau...

Soll ich die Vektoren (2,1)(5,-4),(-3,7) als Linearkombination der Basis B' angeben?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Umso wichtiger, zu verstehen, was passiert und nicht nur wie. Augenzwinkern Wir wollen mal mehr in Vektorschreibweise arbeiten.



Analog für die anderen Basisvektoren. Nun bedeutet



Somit, da wir eine lineare Abbildung haben



Wobei f die Standardbasisvektoren des IR² bezeichnen soll und e die des IR³. Ist das so, von der Schreibidee erst mal klar?
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

Ja schon, du bildest den Vektor auf
und stellst diesen dann als Linearkombination der Kanonischen Basis vom R² dar
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Nun betrachten wir den IR³. Da gibt es die e-Basis und die b-Basis. Vergleiche:



Nun mach das für die anderen Basisvektoren. Btw, (0,0,0) kann nicht teil einer Basis sein. Tippfehler im ersten Post?
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Vektor






tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wir bleiben hier:





Nun haben wir eine Beziehung zwischen b und e. Wie bekommen wir da nun die Matrix des Basiswechseln innerhalb von IR³ raus -> Workshop schauen. Soll heißen z.B.

Mit welcher Matrix muss ich (1,2,3) [Koordinaten bzgl. e] Multiplizieren, um die Koordinaten bzgl. b zu bekommen.
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mach mal das, was ich aus dem Workshop sehe..











tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte auch für den IR² nun vorbereiten.

edit: und dann versuchen nachzuvollziehen. Ich bin erst mal weg.

code:
1:
2:
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37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:
45:
46:
>> Basiswechsel
 
Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 3
Dimension von W: m= 2
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,1,1]
Vektor 2: [1,1,0]
Vektor 3: [1,0,0]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,3]
Vektor 2: [2,5]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2 gegeben? 1
 
M = [2,5,-3;1,-4,7]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x
S =
     1     1     1
     1     1     0
     1     0     0
M1 =
     2     5    -3
     1    -4     7
TI =
   -5.0000    2.0000
    3.0000   -1.0000
M2 =
  -12.0000  -41.0000   -8.0000
    8.0000   24.0000    5.0000
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

Erstaunt1 was soll ich zu R² vorbereiten? Hilfe
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das was wir eben im IR³ gemacht haben. Basiszusammenhang darstellen.
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

Werde mich morgen Mittag mal, nach ein wenig abstand, nochmal daran versuchen smile

danke
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, mach das. Wenn man das Grundprinzip mal hat, ist es nicht mehr schwer.
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

komme immer noch nicht so recht dahinter...

wir sagten ja



aber im haben wir ja nur 2 Dimensionen...

heißt das



?

kann ich mir irgendwie nicht vorstellen... ich mein, was ist mit der
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du sollst diese Vektoren nicht mit A mutliplizieren, sondern die Basisumrechnnung machen. Das Analogon zu

Zitat:



dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ich dachte schon



tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

So, nun stelle mir bitte 2 Matrizen auf, die folgendes leisten:

S: Man multipliziert S mit einem Vektor in Koordinaten von b und bekommt einen Vektor in Koordinaten von e
T: Man multipliziert T mit einem Vektor in Koordinaten von b' und bekommt einen Vektor in Koordinaten von f

Nutze dabei, was wir eben aufgeschreiben haben. Also dass du die Bilder der Basisvektoren von b und b' ja kennst. Beispiel

dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »




*edit*

sorry das sollte noch zu dem davor geposteten beitrag
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du kommentierst nicht, was S ist. [Ich will es später T nennen] Aber was stellt die Matrix dar?
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »



jetzt hatten wir auf der letzten Seite die Werte mit Ae_1, Ae_2 und so multipliziert

aber irgendwie stecke ich fest.
ich hab auch keine Ahnung, woher dieses hoch T aus dem Workshop kommt.
warum trage ich nicht gleich die Linearkombinationen von b'1 und b'2 als Zeilenvektoren in die Matrix? Warum muss ich das erst um 90° drehen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte nur die Schritte machen, die ich aktuell anfrage.

Zitat:
So, nun stelle mir bitte 2 Matrizen auf, die folgendes leisten:

S: Man multipliziert S mit einem Vektor in Koordinaten von b und bekommt einen Vektor in Koordinaten von e
T: Man multipliziert T mit einem Vektor in Koordinaten von b' und bekommt einen Vektor in Koordinaten von f


Nenne mir diese beiden Matrizen. Das "hoch T" erkläre ich dir dann.
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »




Probe:









Probe:



tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:









Führt auf




Bei T sehen wir nun, was ich im WS mit transponiert meinte. Oft schreib man den Zwischenschritt mit dem Koordinatenvektor ja nicht auf. Also dann steht da nur




Und die Idee war nun einfach: Schreibe die Koeffizenten in eine Matrix [so wie du sie dort angeordnet siehst.



In der Vektorschreibweise wird aber klar, dass dies die Transponierte Matrix ist. Daher noch dieser Schritt, um dann das T zu erhalten.

Klar?
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

bis hierhin klar.

Mir erschien der Schritt ein wenig Strange, macht aber wohl vor allem sinn, wenn nicht unbedingt die kanonische Basis im Spiel ist
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann kenn wir im Diagramm also S und T

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            


Wobei hier gilt: B2 von V ist b, B2 von W ist b' und M1 ist die Matrix bzgl. der Standardeinheitsbasen, also



Nun kann man statt dem M2Pfeil ja auch den alternativen Weg über SM1T^{-1} laufen. Und genau das macht man, um M2 [nach der gefragt ist] zu bestimmen. Es muss also T (nur) noch invertiert werden. Dann ist alles easy.

Siehe auch den Programmausdruck.
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten in der Vorlesung noch gar nicht Matritzen invertiert?

und den Punkt:
y=(TI*M1*S)x=M2x verstehe ich auch nicht ganz...

ich mein, ich hab jetzt gesehen, dass

Hier kann ich mir das auch noch ein wenig her leiten wenn ich möchte aber wie gehts denn dann weiter
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das lernt ihr sicher bald. Für 2x2 gibt es eine einfache Formel.

Zitat:
y=(TI*M1*S)x=M2x


Was verstehst du daran nicht? verwirrt Es sind eben 2 Wege im Diagramm zum gleichen Zielpunkt. Augenzwinkern
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wir haben auch noch keine matritzen miteinander multipliziert

das Problem ist ja, dass ich das invertieren der Matrix gar nicht nutzen darf, wenn wir das noch nicht hatten
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wichtig ist, dass du den Weg hier verstehst. Und was eigentlich wirklich passiert in der Aufgabe. Dann kannst du Einzelrechnungen auch elementar ansetzen, aber im Grunde wird genau das gemacht, was im Schema steht. Nur seht ihr es nicht und somit hat die Aufgabe wenig Lerneffekt bei der Bearbeitung.

Matrix und Vektor könnt ihr aber rechnen, oder?
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte ich ja oben schon gemacht. Ja
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann kannst du auch mit Matrizen rechnen. Augenzwinkern

Also wir haben nun ermittelt:



Damit ist der Auftrag
Zitat:
Ermitteln sie eine Matrixdarstellung

ausgeführt.

Zitat:
Hinweis: A bestimmt eine lineare Abbidlung wobei als Spaltenvektor geschrieben wird.


Das heißt, dass man sich nun jeden Schritt auch Elementar überlegen kann. D.h. wir wissen, in den Spalten von M2 stehen die Bilder der Basisvektoren b unter der linearen Abbildung und sind als Koordinaten bzgl. b' zu verstehen.

Also:

Nimm Basisvektor von b. Rechne ihn in Koordinatenvektor von e um. Wende A darauf an. Erhalte Koordinatenvektor in f. Rechne diesen um in b'.

Das kann man nun von Hand machen oder eben gleich systematisch wie oben.
dreikommadrei Auf diesen Beitrag antworten »

Danke
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte.
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