Matrixdarstellung ermitteln |
02.07.2011, 16:42 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Matrixdarstellung ermitteln Hinweis: A bestimmt eine lineare Abbidlung wobei als Spaltenvektor geschrieben wird. Ich bin bei der Aufgabe ein wenig unsicher... Bedeutet dieser Hinweis, dass die Lineare Abbildung so lautet: F(x,y,z)=(2x+5y+-3z,x-4y+7z) |
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02.07.2011, 16:43 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
[Artikel] Basiswechsel |
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02.07.2011, 17:11 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
das hilft mir gerade leider nur bedingt weiter... aber aus den link entnehme ich zumindest, dass die Abbildung dieser F(x,y,z)=(2x+5y+-3z,x-4y+7z) entspricht? oder? dann wäre Als Matrix hätte ich dann da |
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02.07.2011, 17:13 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
"Nein". Die Frage ist, bzgl. welcher Basen ist zu verstehen. Wir gehen von den Standardeinheitsbasen der IR³ bzw. des IR² aus und die Aufgabe verlangt die Berechnung der darstellenden Matrix bzgl. der anderen angegeben Basen. Somit lauten die Teilaufgaben: Bestimme die Basiswechselmatrizen Bestimme die darstellende Matrix bzgl. der neuen Basen als Produkt aus A und den Basiswechselmatrizen (siehe Schema im Link) |
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02.07.2011, 17:19 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ich verstehe diesen workshop aber nicht und über Basiswechselmatrizen wurde in Vorlesung und Übung noch nie ein Wort verloren |
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02.07.2011, 17:27 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann ist das eben schlecht in der Vorlesung. Man kann es natürlich auch zu Fuß ausrechnen, also Schrittweise umrechnen, was aber nicht mehr als einen "Einführenden Beispiel Charakter" haben sollte. Schritt 1: 1. Auf was bildet A die Einheitsvektoren ab? 2. Wie stellen sich die neuen Basisvektoren als Linearkombinationen dieser Basisvektoren da? Damit hattest du schon angefangen. Schreib es aber mal systematischer auf, um besser zu verstehen, was passiert. |
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02.07.2011, 17:34 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich Studiere auf GHR Lehramt und besuche die Vorlesung "Grundzüge der Linearen Algebra" und nicht LA 1 oder 2 wie das beim Mathestudium oder beim Lehramt Gym der Fall wäre... vielleicht ist das der Grund
F(1,0,0)=(2*1+5*0+-3*0,1*1+-4*0+7*0)=(2,1) F(0,1,0)=(2*0+5*1+-3*0,1*0+-4*1+7*0)=(5,-4) F(0,0,1)=(2*0+5*0+-3*1,1-0+-4*0+7*1)=(-3,7)
Ich verstehe nicht genau... Soll ich die Vektoren (2,1)(5,-4),(-3,7) als Linearkombination der Basis B' angeben? |
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02.07.2011, 17:44 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Umso wichtiger, zu verstehen, was passiert und nicht nur wie. Wir wollen mal mehr in Vektorschreibweise arbeiten. Analog für die anderen Basisvektoren. Nun bedeutet Somit, da wir eine lineare Abbildung haben Wobei f die Standardbasisvektoren des IR² bezeichnen soll und e die des IR³. Ist das so, von der Schreibidee erst mal klar? |
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02.07.2011, 17:51 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja schon, du bildest den Vektor auf und stellst diesen dann als Linearkombination der Kanonischen Basis vom R² dar |
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02.07.2011, 17:57 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok. Nun betrachten wir den IR³. Da gibt es die e-Basis und die b-Basis. Vergleiche: Nun mach das für die anderen Basisvektoren. Btw, (0,0,0) kann nicht teil einer Basis sein. Tippfehler im ersten Post? |
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02.07.2011, 18:08 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, Vektor |
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02.07.2011, 18:14 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wir bleiben hier: Nun haben wir eine Beziehung zwischen b und e. Wie bekommen wir da nun die Matrix des Basiswechseln innerhalb von IR³ raus -> Workshop schauen. Soll heißen z.B. Mit welcher Matrix muss ich (1,2,3) [Koordinaten bzgl. e] Multiplizieren, um die Koordinaten bzgl. b zu bekommen. |
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02.07.2011, 18:32 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich mach mal das, was ich aus dem Workshop sehe.. |
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02.07.2011, 18:34 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bitte auch für den IR² nun vorbereiten. edit: und dann versuchen nachzuvollziehen. Ich bin erst mal weg.
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02.07.2011, 18:46 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
was soll ich zu R² vorbereiten? |
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02.07.2011, 18:52 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das was wir eben im IR³ gemacht haben. Basiszusammenhang darstellen. |
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02.07.2011, 20:59 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Werde mich morgen Mittag mal, nach ein wenig abstand, nochmal daran versuchen danke |
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02.07.2011, 21:14 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, mach das. Wenn man das Grundprinzip mal hat, ist es nicht mehr schwer. |
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03.07.2011, 16:18 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
komme immer noch nicht so recht dahinter... wir sagten ja aber im haben wir ja nur 2 Dimensionen... heißt das ? kann ich mir irgendwie nicht vorstellen... ich mein, was ist mit der |
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03.07.2011, 16:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, du sollst diese Vektoren nicht mit A mutliplizieren, sondern die Basisumrechnnung machen. Das Analogon zu
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03.07.2011, 16:30 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Achso, ich dachte schon |
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03.07.2011, 16:35 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So, nun stelle mir bitte 2 Matrizen auf, die folgendes leisten: S: Man multipliziert S mit einem Vektor in Koordinaten von b und bekommt einen Vektor in Koordinaten von e T: Man multipliziert T mit einem Vektor in Koordinaten von b' und bekommt einen Vektor in Koordinaten von f Nutze dabei, was wir eben aufgeschreiben haben. Also dass du die Bilder der Basisvektoren von b und b' ja kennst. Beispiel |
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03.07.2011, 16:35 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
*edit* sorry das sollte noch zu dem davor geposteten beitrag |
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03.07.2011, 16:37 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du kommentierst nicht, was S ist. [Ich will es später T nennen] Aber was stellt die Matrix dar? |
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03.07.2011, 16:58 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
jetzt hatten wir auf der letzten Seite die Werte mit Ae_1, Ae_2 und so multipliziert aber irgendwie stecke ich fest. ich hab auch keine Ahnung, woher dieses hoch T aus dem Workshop kommt. warum trage ich nicht gleich die Linearkombinationen von b'1 und b'2 als Zeilenvektoren in die Matrix? Warum muss ich das erst um 90° drehen? |
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03.07.2011, 17:01 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bitte nur die Schritte machen, die ich aktuell anfrage.
Nenne mir diese beiden Matrizen. Das "hoch T" erkläre ich dir dann. |
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03.07.2011, 17:44 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Probe: Probe: |
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03.07.2011, 17:50 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Führt auf Bei T sehen wir nun, was ich im WS mit transponiert meinte. Oft schreib man den Zwischenschritt mit dem Koordinatenvektor ja nicht auf. Also dann steht da nur Und die Idee war nun einfach: Schreibe die Koeffizenten in eine Matrix [so wie du sie dort angeordnet siehst. In der Vektorschreibweise wird aber klar, dass dies die Transponierte Matrix ist. Daher noch dieser Schritt, um dann das T zu erhalten. Klar? |
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03.07.2011, 17:57 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
bis hierhin klar. Mir erschien der Schritt ein wenig Strange, macht aber wohl vor allem sinn, wenn nicht unbedingt die kanonische Basis im Spiel ist |
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03.07.2011, 18:10 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, dann kenn wir im Diagramm also S und T
Wobei hier gilt: B2 von V ist b, B2 von W ist b' und M1 ist die Matrix bzgl. der Standardeinheitsbasen, also Nun kann man statt dem M2Pfeil ja auch den alternativen Weg über SM1T^{-1} laufen. Und genau das macht man, um M2 [nach der gefragt ist] zu bestimmen. Es muss also T (nur) noch invertiert werden. Dann ist alles easy. Siehe auch den Programmausdruck. |
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03.07.2011, 18:43 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wir hatten in der Vorlesung noch gar nicht Matritzen invertiert? und den Punkt: y=(TI*M1*S)x=M2x verstehe ich auch nicht ganz... ich mein, ich hab jetzt gesehen, dass Hier kann ich mir das auch noch ein wenig her leiten wenn ich möchte aber wie gehts denn dann weiter |
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03.07.2011, 18:53 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Naja, das lernt ihr sicher bald. Für 2x2 gibt es eine einfache Formel.
Was verstehst du daran nicht? Es sind eben 2 Wege im Diagramm zum gleichen Zielpunkt. |
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03.07.2011, 18:54 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Naja, wir haben auch noch keine matritzen miteinander multipliziert das Problem ist ja, dass ich das invertieren der Matrix gar nicht nutzen darf, wenn wir das noch nicht hatten |
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03.07.2011, 19:08 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wichtig ist, dass du den Weg hier verstehst. Und was eigentlich wirklich passiert in der Aufgabe. Dann kannst du Einzelrechnungen auch elementar ansetzen, aber im Grunde wird genau das gemacht, was im Schema steht. Nur seht ihr es nicht und somit hat die Aufgabe wenig Lerneffekt bei der Bearbeitung. Matrix und Vektor könnt ihr aber rechnen, oder? |
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03.07.2011, 19:53 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hatte ich ja oben schon gemacht. Ja |
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03.07.2011, 20:00 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann kannst du auch mit Matrizen rechnen. Also wir haben nun ermittelt: Damit ist der Auftrag
ausgeführt.
Das heißt, dass man sich nun jeden Schritt auch Elementar überlegen kann. D.h. wir wissen, in den Spalten von M2 stehen die Bilder der Basisvektoren b unter der linearen Abbildung und sind als Koordinaten bzgl. b' zu verstehen. Also: Nimm Basisvektor von b. Rechne ihn in Koordinatenvektor von e um. Wende A darauf an. Erhalte Koordinatenvektor in f. Rechne diesen um in b'. Das kann man nun von Hand machen oder eben gleich systematisch wie oben. |
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03.07.2011, 20:13 | dreikommadrei | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke |
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03.07.2011, 20:17 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bitte. |
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