Integral lösen: e-Funktion

02.07.2011, 16:55

Petzinger

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Integral lösen: e-Funktion

Hallo,

ich muss folgendes Integral lösen:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-ax^2} \end{eqnarray*}$ mit der Angabe, dass $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{eqnarray*}$

Das ganze hab ich jetzt partiell integriert und bin auf folgende Form gekommen:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-ax^2} = [\sqrt{\frac{\pi}{a}} x ]_{-\infty}^{\infty}+\int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{eqnarray*}$

Der erste Teil ist 0, da x eine ungerade Funktion ist. Beim zweiten Teil verlässt mich mein Glück. Hat da jemand eine Idee? Das müsste doch eigentlich gar nicht exisiteren.

Grüße,
Petzinger

02.07.2011, 16:58

Wetal

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ich glaube du hast die partielle integration falsch angewandt. erklär mir bitte deine vorgehensweise.

02.07.2011, 17:05

Petzinger

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$\begin{eqnarray*} g(x) = x \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{-ax^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x) = 1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{eqnarray*}$

in eingesetzt

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = [f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b} - \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

gibt mir das Ergebnis oben.

02.07.2011, 17:07

Wetal

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So wie du f' gewählt hast, ist f ganz sicher keine konstante. Ich merke auch gerade, dass man hier gar keine partielle Integration braucht. versuche mal die Stammfunktion zu erraten.

\edit: du hast etwas verwechselt:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^b f'(x) = f(b)- f(a) \neq f(x) \end{eqnarray*}$

02.07.2011, 17:10

Petzinger

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Ja, die Stammfunktion hab ich auch schon berechnet, leider kann ich damit nicht die Integralgrenzen berechnen, da unendlich. Oder übseh ich was?

02.07.2011, 17:14

Petzinger

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Zitat:

Original von Wetal
\edit: du hast etwas verwechselt:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^b f'(x) = f(b)- f(a) \neq f(x) \end{eqnarray*}$

Das ist doch grade die Bedingung die ich benutze, die mir vorgegeben wurde. Siehe oben.

Grüße,
Petzinger

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02.07.2011, 17:15

Wetal

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was ist denn deine Stammfunktion?

02.07.2011, 17:18

Petzinger

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Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich die obige Bedingung brauch, sonst würde sie ja nicht da stehen.
$\begin{eqnarray*} [\frac{-e^{-ax^2}}{2a}]_{-\infty}^{\infty} \end{eqnarray*}$

Un dese Stammfunktion lässt sich, zumindest für mich, nicht so einfach im unendlichn auswerten.

Grüße,
Petzinger

02.07.2011, 17:20

Wetal

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ach ja? was ist $\begin{eqnarray*} e^{-\infty} \end{eqnarray*}$ ? Man müsste natürlich vorausetzen, dass a >0 ist. ich wüßte auch nicht wo man dieses gaußsche fehlerintegral einbauen sollte.

02.07.2011, 17:23

Petzinger

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$\begin{eqnarray*} e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ strebt für x gegen unendlich gegen 0. Die andere Seite ist aber soweit ich weiß nicht beschränkt.

02.07.2011, 17:25

Wetal

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schau genau hin. was ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow - \infty} -x^2 \end{eqnarray*}$

übrigens war der fehler an deiner partiellen integration, dass du an stelle von $\begin{eqnarray*} f= \int f'(x) \, dx \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f= \int_{-\infty}^\infty f'(x) \, dx \end{eqnarray*}$ mit festen grenzen eingesetzt hast. dabei ist die stammfunktion eine funktion und nicht immer eine konstante zahl. setzt man feste grenzen vor, so kriegt man nicht die stammfunktion heraus, sondern das integral über einen bestimmten bereich.

02.07.2011, 17:28

Petzinger

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Ah danke, jetzt seh ichs auch smile

smile

Wieso weiso kann ich nicht einfach oben die Bedingung oben nehmen?

02.07.2011, 17:33

Petzinger

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Zitat:

Original von Wetal
schau genau hin. was ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow - \infty} -x^2 \end{eqnarray*}$

übrigens war der fehler an deiner partiellen integration, dass du an stelle von $\begin{eqnarray*} f= \int f'(x) \, dx \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f= \int_{-\infty}^\infty f'(x) \, dx \end{eqnarray*}$ mit festen grenzen eingesetzt hast. dabei ist die stammfunktion eine funktion und nicht immer eine konstante zahl. setzt man feste grenzen vor, so kriegt man nicht die stammfunktion heraus, sondern das integral über einen bestimmten bereich.

Also müsste es so lauten: $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-ax^2} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} x+\int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{eqnarray*}$

Oder wie soll ich deine Antwort interpretieren?

Grüße,
Petzinger

02.07.2011, 17:35

Wetal

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also du solltest ja in beim partiell integrieren f(x) einsetzen und nicht $\begin{eqnarray*} f(\infty) - f(-\infty) \end{eqnarray*}$ . Das sind ja auch 2 verschiedene Sachen. $\begin{eqnarray*} f(\infty) - f(-\infty) \end{eqnarray*}$ ist irgend eine zahl. f(x) ist dagegen eine funktion.

$\begin{eqnarray*} f(\infty) - f(-\infty) = \int_{-\infty}^\infty f'(x) \, dx =\sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{eqnarray*}$ .

\edit:

Zitat:

Original von Petzinger
Also müsste es so lauten: $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-ax^2} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} x+\int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{eqnarray*}$

Oder wie soll ich deine Antwort interpretieren?

Grüße,
Petzinger

nein, die funktion f(x) sieht laut wolframalpha so aus:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\sqrt{\pi} \text{ erf}(\sqrt{a} x)}{2 \sqrt{a}} \end{eqnarray*}$

wobei erf(x) die error funktion ist... was auch immer das ist :p

02.07.2011, 17:38

Petzinger

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Zitat:

Original von Wetal
also du solltest ja in beim partiell integrieren f(x) einsetzen und nicht $\begin{eqnarray*} f(\infty) - f(-\infty) \end{eqnarray*}$ . Das sind ja auch 2 verschiedene Sachen. $\begin{eqnarray*} f(\infty) - f(-\infty) \end{eqnarray*}$ ist irgend eine zahl. f(x) ist dagegen eine funktion.

$\begin{eqnarray*} f(\infty) - f(-\infty) = \int_{-\infty}^\infty f'(x) \, dx =\sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{eqnarray*}$ .

Genau das steht doch in meinem dritten Beitrag!

02.07.2011, 17:42

Wetal

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Zitat:

Original von Petzinger

Zitat:

Original von Wetal
also du solltest ja in beim partiell integrieren f(x) einsetzen und nicht $\begin{eqnarray*} f(\infty) - f(-\infty) \end{eqnarray*}$ . Das sind ja auch 2 verschiedene Sachen. $\begin{eqnarray*} f(\infty) - f(-\infty) \end{eqnarray*}$ ist irgend eine zahl. f(x) ist dagegen eine funktion.

$\begin{eqnarray*} f(\infty) - f(-\infty) = \int_{-\infty}^\infty f'(x) \, dx =\sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{eqnarray*}$ .

Genau das steht doch in meinem dritten Beitrag!

da steht $\begin{eqnarray*} f(x ) =\sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{eqnarray*}$ und das ist nicht so. wenn es stimmen würde, dann wäre $\begin{eqnarray*} f'(x) =0 \end{eqnarray*}$ für alle x und das ist ein widerspruch zur annahme.

mach dir mal klar, was der unterschied zwischen

$\begin{eqnarray*} \int h'(x) \, dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_a^b h'(x) \, dx \end{eqnarray*}$ ist.

03.07.2011, 18:30

Petzinger

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Okay, den Teil hab ich verstanden smile

smile

Lange ists her, dass ich was integrieren musste.

Ich glaub mit der Wahl der Funktionen komm ich nicht weiter. Hat da jemand einen anderen Ansatz?

Ich hab auch schon:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = e^{-ax^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x) = -2ax^{-2ax^2} \end{eqnarray*}$

Da komm ich dann auf
$\begin{eqnarray*} [\frac{1}{2}x^2e^{-ax^2}]_{-\infty}^{\infty}+2a\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^2} \end{eqnarray*}$

Für den zweiten Teil habe ich eine geschlossene Form als Lösung (Vorgabe). Der erste Teil macht mir aber noch schwierigkeiten.

Hat da jemand vielleicht einen komplett anderen Ansatz?

Grüße,
Petzinger

03.07.2011, 18:36

Wetal

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hast du nochmal überprüft, ob das zu berechnende integral auf der ersten seite richtig ist? falls ja, dann braucht man die zusatzbedingung gar nicht. lass das integral z.b. von wolframalpha.com lösen. das ist 0. eine stammfunktion zu dieser funktion hast du ja bereits auf seite 1 angegeben.

03.07.2011, 18:46

Petzinger

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Ja, kann ich nicht so argumentieren:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-ax^2} \end{eqnarray*}$

Da x eine ungerade Funktion ist und $\begin{eqnarray*} e^{-ax^2} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, so ist das gesamte Integral = 0?

Grüße,
Petzinger

03.07.2011, 18:55

Wetal

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da muss man nicht viel argumentieren, einfach stammfunktion berechnen, einsetzen. die hast du ja auf der letzten seite sogar angegeben. übrigens war deine ableitung von g vorhin nicht ganz richtig.

03.07.2011, 18:59

Petzinger

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Ja, da ist das 2 im exponenten zu viel, war ein Tippfehler. Unten stimmts ja wieder.

Vielen Dank von mir. Das Problem war wohl einfach, dass ich gedacht hab, dass ich die Vorgabe benutzten muss. Die brauch ich dann aber erst später. Vielen Dank!

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