Ornungsvollständigkeit von Q(sqrt(2))

02.07.2011, 19:51

PeterSchmitt

Ornungsvollständigkeit von Q(sqrt(2))

Hallo,
Aufgabe:
Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray*} Q (\sqrt{2}) := \{ a + b\sqrt{2} : a, b \in Q \} \end{eqnarray*}$ nicht ordnungvollständig ist:

Vorweg:
Wir müssen die Aufgabe ohne Folgen und Limes beweisen, weil wir diese bisher noch nicht gemacht haben.

Idee:
Ordnunvollständig heißt, dass jede nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Deswegen habe ich mir überlegt die Teilmenge

$\begin{eqnarray*} A := \{x \in Q(\sqrt{2}) : x^2 \le 3\} \end{eqnarray*}$

zu konstruieren.
Dazu müsste ich nun zeigen, dass die Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ kein Supremum in $\begin{eqnarray*} Q (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ besitzt. Dazu denke ich müsste ich zuerst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ kein Element von $\begin{eqnarray*} Q (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ist. Allerdings komme ich hier schon nicht weiter. Ich habe es z.B. durch Widerspruch versucht, bin dort aber nicht weit gekommen.

Wie kann ich nun zeigen, dass die $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ kein Element von $\begin{eqnarray*} Q (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ist?

Vielen Dank, Peter

02.07.2011, 19:58

Felix

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$\begin{eqnarray*} a +b \sqrt{2} = \sqrt{2} \quad \Rightarrow \sqrt{2} = \frac{a}{1-b} \end{eqnarray*}$

02.07.2011, 20:15

PeterSchmitt

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Zitat:

Original von Felix
$\begin{eqnarray*} a +b \sqrt{2} = \sqrt{2} \quad \Rightarrow \sqrt{2} = \frac{a}{1-b} \end{eqnarray*}$

Willst du zeigen, dasss $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ist? Aber $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist doch in $\begin{eqnarray*} Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ , für a = 0 und b = 1. ich vertstehe nicht ganz was du sagen willst unglücklich

02.07.2011, 20:28

zweiundvierzig

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Deine Idee mit der gewählten Menge ist gut. Nimm an, es gäbe $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 = a + b \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ . Was kann man nun machen, um zumindest mal eine Wurzel wegzukriegen?

Edit (siehe nächster Beitrag): Ja, mache ich, zumal es nun auch nicht mehr lange gehen sollte. Augenzwinkern

02.07.2011, 20:28

tmo

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Sezte doch einfach mit $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{2}=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ an und quadriere.

Edit: zu spät, machst du zu Ende?

02.07.2011, 20:56

PeterSchmitt

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Hallo,
ich habe mal mit euren Tipps versucht:

$\begin{eqnarray*} a + b\sqrt{2} = \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ <=>
$\begin{eqnarray*} (a + b\sqrt{2})^2 = 3 \end{eqnarray*}$ <=>
$\begin{eqnarray*} a^2 + 2ab\sqrt{2} + 2b^2 = 3 \end{eqnarray*}$ <=>
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} = \frac{3-a^2-2b^2}{2ab} \end{eqnarray*}$

Ist das nun ein Widerspruch, da Wurzel von 2 keine rationale Zahl ist?
Wenn das, was ich gemacht habe richtig ist, muss man nicht noch irgendwie annehmen, dass a und b ungleich 0 sind, weil sonst im Nenner eine Null wäre?

Angenonmmen ich hätte nun gezeigt, dass die Wurzel von 3 nicht in Q(2) ist. Dann müsste ich doch zeigen, dass die Menge A kein Supremum besitzt. Rein vom Verständnis ist mir klar, dass es kein Supremum gibt, da man sich belieb nahe an 3 annähern kann. Aber wie soll ich ich das mathematisch zeigen?

Vielen Dank : )

Peter

02.07.2011, 21:53

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von PeterSchmitt
Ist das nun ein Widerspruch, da Wurzel von 2 keine rationale Zahl ist?

Ja und zur Begründung solltest Du dich erinnern, welche algebraische Struktur die rationalen Zahlen bilden.

Zitat:

Original von PeterSchmitt
Wenn das, was ich gemacht habe richtig ist, muss man nicht noch irgendwie annehmen, dass a und b ungleich 0 sind, weil sonst im Nenner eine Null wäre?

Was passiert denn in der Annahme für $\begin{eqnarray*} a = b = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von PeterSchmitt
Angenonmmen ich hätte nun gezeigt, dass die Wurzel von 3 nicht in Q(2) ist. Dann müsste ich doch zeigen, dass die Menge A kein Supremum besitzt. Rein vom Verständnis ist mir klar, dass es kein Supremum gibt, da man sich belieb nahe an 3 annähern kann. Aber wie soll ich ich das mathematisch zeigen?

Vorsicht bei der Sprache: ein Supremum besitzt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sehr wohl, nämlich $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ .

Deine Anschauung ist schon richtig. Ihr solltet gelernt haben, dass die rationalen Zahlen dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegen. Das heißt, für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ist die Menge $\begin{eqnarray*} (\sqrt 3 - \varepsilon, \sqrt 3) \cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nichtleer. (Die Auswahl geeigneter Punkte aus abzählbar vielen solcher Schritte liefert eine Folge rationaler Zahlen, die gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ konvergiert.) Was würde nun passieren, wenn $\begin{eqnarray*} \sup A < \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ wäre?

Edit: Falsch gelesen, Fehler korrigiert.

02.07.2011, 22:21

PeterSchmitt

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Zitat:

Ja und zur Begründung solltest Du dich erinnern, welche algebraische Struktur die rationalen Zahlen bilden.

Q ist ein Körper.

Zitat:

Was passiert denn in der Annahme für $\begin{eqnarray*} a=b=0 \end{eqnarray*}$

Das wäre das Nullelement von $\begin{eqnarray*} Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ . Aber in der obigen Gleichung würde mit a=0 oder b=0 im Nenner eine 0 sein, was ja verboten ist.

Ist der Beweis richtig? :

Sei nun $\begin{eqnarray*} s := sup A < \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . Da Q dicht in R ist, gibt es ein $\begin{eqnarray*} k \in Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s < k < \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . D.h. s ist keine obere Schrank von A und damit auch nicht das Supremum, im Gegensatz zur Annahme. Somit besitzt die Menge A kein Supremum => $\begin{eqnarray*} Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ nicht ordnungsvollständig.

Danke : )

Peter

02.07.2011, 22:37

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von PeterSchmitt
Q ist ein Körper.

Genau und was gilt für diese im Hinblick auf unsere Frage?

Zitat:

Original von PeterSchmitt
Das wäre das Nullelement von $\begin{eqnarray*} Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ .

...und das ist schlicht die Null aus den ganzen Zahlen, die offensichtlich nicht gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

Zitat:

Original von PeterSchmitt
Sei nun $\begin{eqnarray*} s := sup A < \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . Da Q dicht in R ist, gibt es ein $\begin{eqnarray*} k \in Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s < k < \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . D.h. s ist keine obere Schrank von A und damit auch nicht das Supremum, im Gegensatz zur Annahme. Somit besitzt die Menge A kein Supremum => $\begin{eqnarray*} Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ nicht ordnungsvollständig.

Genau, das ist richtig. Aber wie bereits gesagt, die Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ besitzt natürlich ein Supremum, nur eben in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \cap A^C \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

02.07.2011, 23:56

PeterSchmitt

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Zitat:

Genau und was gilt für diese im Hinblick auf unsere Frage?

Ich verstehe nicht genau worauf du hinaus willst :/ Die linke Seite der Gleichung ( $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ) ist irrational und die rechte Seite ist rational (Widerspruch).
Oder meintest du:
Die rationalen Zahlen können eindeutig als teilerfremder Bruch dargestellt werden.

Wäre folgende Weiterführung des Beweises auch richtig?:

Es gibt bis auf Isormporhie nur einen ordnungsvollständigen Erweiterungskörper, der Q enhält, unzwar den Körper reellen Zahlen (Satz aus Vorlesung). Da $\begin{eqnarray*} Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ nun ein Erweiterungskörper von Q ist und offensichtlich nicht die Wurzel von 3 enthält, kann $\begin{eqnarray*} Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ nicht isomorph zu R sein und somit auch nicht ordnungsvollständig.

Vielen Dank für alles, zweiundvierzig! : )

Peter

03.07.2011, 00:03

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von PeterSchmitt
Ich verstehe nicht genau worauf du hinaus willst :/ Die linke Seite der Gleichung ( $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ) ist irrational und die rechte Seite ist rational (Widerspruch).
Oder meintest du:
Die rationalen Zahlen können eindeutig als teilerfremder Bruch dargestellt werden.

Worauf ich hinauswollte, mag so trivial erscheinen, dass Du es nicht siehst. Augenzwinkern

Eigenschaft jeder algebraischer Struktur ist die Abgeschlossenheit bezüglich der Operationen. Summen und Produkte rationaler Zahlen sind also wieder rational. Für irrationale Zahlen gilt das Analoge offenbar nicht.

Zitat:

Original von PeterSchmitt
Wäre folgende Weiterführung des Beweises auch richtig?:

Was willst Du denn genau beweisen? Dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ nicht ordnungsvollständig ist, haben wir ja jetzt gesehen. Davon abgesehen kann $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ gar nicht isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ in irgendeinem Sinne sein, da die Mächtigkeiten unterschiedlich sind.

03.07.2011, 00:10

PeterSchmitt

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Okay ich verstehe smile

Zitat:

Was willst Du denn genau beweisen

Ich meinte, ob ich anstatt dem Supremum-Beweis, welchen wir als erstes gemacht haben, auch den Beweis schreiben könnte, welche ich gerade in meinem letzten Beitrag geschrieben habe.

Danke!! : )

Peter

03.07.2011, 00:27

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von PeterSchmitt
Ich meinte, ob ich anstatt dem Supremum-Beweis, welchen wir als erstes gemacht haben, auch den Beweis schreiben könnte, welche ich gerade in meinem letzten Beitrag geschrieben habe.

Ja, das geht auch. Du kennst eben den Satz, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bis auf Isomorphie geordneter Körper der einzige ordnungsvollständige geordnete Körper ist. Wenn Du zeigst, dass der geordnete Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ abzählbar ist, dann ist klar, dass er nicht Isomorph zum überabzählbaren Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein kann, also auch nicht ordnungsvollständig. smile

Edit: Wichtig ist hierbei aber wirklich mein angebrachtes Mächtigkeitsargument. Der Punkt, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \notin \mathbb Q(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ liegt, wird erst entscheidend, wenn man es als fehlendes Supremum erkennt, nicht bloß als irgendein Element (womit Du dann wieder bei der Rechnung angekommen wärst, Du ganz zu Beginn sowieso angedacht hattest). Zum Beispiel sind $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[3]{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[3]{2} \mathrm{e}^{2 \mathrm \pi \mathrm i/3}) \end{eqnarray*}$ isomorphe Körper, aber $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \mathrm{e}^{2 \mathrm \pi \mathrm i/3} \notin \mathbb Q(\sqrt[3]{2}) \end{eqnarray*}$ . (Zur Schreibweise siehe Adjunktion.)

03.07.2011, 17:23

PeterSchmitt

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Super danke, insbesondere für deine weiterführenden Kommentare, denn dadurch habe ich einiges neues dazugelernt smile

03.07.2011, 17:43

zweiundvierzig

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Gern geschehen. smile

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