Lineare Abbildung und Polynome

02.07.2011, 21:18	dreikommadrei	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung und Polynome Die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} I:P_3 \rightarrow P_4 \end{eqnarray}$ sei definiert durch $\begin{eqnarray} I(x^i)=\frac{1}{i+1}x^{(i+1)}\ \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i=0,1,2,3 \end{eqnarray}$ a) Bestimmen sie die Abbildungsmatrizen $\begin{eqnarray} M_{BB'}(I) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_{CB'}(I) \end{eqnarray}$ bzgl. der Basen $\begin{eqnarray} B={1,x,x^2,x^3}, C={1+x,1-x,x^2,x^3-1} \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} P_3 \end{eqnarray}$ und der Basis $\begin{eqnarray} B'={1,x,x^2,x^3,x^4} \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} P_4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I(b_1)=x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I(b_2)=\frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I(b_3)=\frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I(b_4)=\frac{1}{4}x^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_{BB'}(I)=\begin{pmatrix} 0&0&0&0 \\ 1&0&0&0\\ 0& \frac{1}{2}&0&0\\ 0&0& \frac{1}{3} &0 \\ 0&0&0& \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I(c_1)=x+\frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I(c_2)=x-\frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I(c_3)=\frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I(c_4)=\frac{1}{4}x^4-x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_{CB'}(I)=\begin{pmatrix} 0&0&0&0 \\ 1&1&0&-1\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}&0&0\\ 0&0& \frac{1}{3}&0 \\ 0&0&0& \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ stimmt das so oder ist das totaler blödsinn? Stimmen zumindest die Abbildungen? Wenn dem so ist, ist die Abbildung Injektiv, da im Kern ja nur der Nullpolynom (nennt man den dann so?) steckt. Surjektiv ist die Abbildung aber nicht, da ja dann z.b. "3+x^4" nicht getroffen werden würde (da die 3 ja nicht getroffen wird) oder?
03.07.2011, 11:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen sind in Ordnung, da in den Spalten die Bilder der Basisvektoren stehen. Injektiv stimmt, sieht man sofort an $\begin{eqnarray} M_{BB'}(I) \end{eqnarray}$ . Der Kern enthält nur das Nullpolynom. Surjektiv kann die Abbildung nicht sein, da $\begin{eqnarray} dim(P_3)=4<5=dim(P_4) \end{eqnarray}$ . Kleines Restproblem: Du musst den Körper angeben, über dem die Vektorräume definiert sind. Wenn der Körper nicht $\begin{eqnarray} \mathbb Q, \mathbb R \end{eqnarray}$ ist, muss man genauer darüber nachdenken. Bei endlichen Körpern kann alles ganz anders sein. Über $\begin{eqnarray} \mathbb F_2,\mathbb F_3 \end{eqnarray}$ zum Beispiel ist $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ nicht definiert. Über $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ zum Beispiel ist $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ keine Basis.
03.07.2011, 16:13	dreikommadrei	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Der Körper ist bereits als $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ definiert, solang nichts anderes angegeben ist

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