Lebesgue Integrierbarkeit

02.07.2011, 21:58	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesgue Integrierbarkeit Hallo, ich kämpfe jetzt schon länger mit folgender Aufgabenstellung: Sei $\begin{eqnarray} f \in \mathcal{L}^1(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} g:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R \cup \{\infty\} \end{eqnarray}$ eine Funktion und $\begin{eqnarray} \|g\| \le f \end{eqnarray}$ . Zu jedem $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ gebe es eine Umgebung $\begin{eqnarray} U=U(x) \end{eqnarray}$ , s.d. $\begin{eqnarray} \left. g \right\| _U \in \mathcal{L}^1(U) \end{eqnarray}$ . z.z.: $\begin{eqnarray} g \in \mathcal{L}^1(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht direkt wie ich das machen soll. Habe mir bisher folgendes überlegt. Wenn $\begin{eqnarray} g \in \mathcal{L}^1(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} \exists \; (\phi_k) \subset T(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ Treppenfunktion, s.d. $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty} \\| g-\phi_k \\|_{1}=0 \end{eqnarray}$ . Nach Voraussetzung gilt ja: $\begin{eqnarray} \forall U \; \exists (\psi_k^{(U)}) \subset T(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ Treppenfunktion, s.d. $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty} \Vert \left. \tilde{g} \right\|_U - \psi_k^{(U)} \Vert_1=0 \end{eqnarray}$ (wobei ich mit $\begin{eqnarray} \left. \tilde{g} \right\|_U \end{eqnarray}$ die triviale Fortsetzung von $\begin{eqnarray} g\|_U \end{eqnarray}$ meine) Das heißt ich finde eineFolge von Treppenfunktionen für die Umgebung $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ von x. Das ist aber auch schon alles. Weiß nicht mal annähernd wie ich $\begin{eqnarray} (\phi_k) \end{eqnarray}$ finden soll. Ich hoffe es kann mir jemand helfen. Vielen Dank schonmal, Mandelbrötchen

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