Invertierbar

16.12.2006, 14:46

Judith86

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Invertierbar

Sei $\begin{eqnarray*} A \in K^{nxn} \end{eqnarray*}$ invertierbar, d.h. es existiert ein $\begin{eqnarray*} X \in K^{nxn} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} XA=I_{n} \end{eqnarray*}$ . ( $\begin{eqnarray*} I_{n} \end{eqnarray*}$ Einheitsmatrix)
Zeigen Sie, dass auch X invertierbar ist.

Hinweis: Betrachten Sie die Abbildung: $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wird abgebildet auf $\begin{eqnarray*} f_{A} \end{eqnarray*}$ und zeigen Sie, dass aus der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} XA=I_{n} \end{eqnarray*}$ die Surjektivität von $\begin{eqnarray*} f_{X} \end{eqnarray*}$ folgt.

Hierbei ist $\begin{eqnarray*} f_{A} \end{eqnarray*}$ die A zugeordnete lineare Abbildung soweit ich das verstanden habe.

Habe größere Probleme bei dieser Aufgabe. Weiß nicht, wie der Beweis funktioniert und was mir der Hinweis beringen soll. Wär nett, wenn ihr mir mal ein paar Tipps geben könntet.

Danke schonmal smile

smile

16.12.2006, 16:52

Mazze

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Du sollst zeigen das X invertierbar ist, das also die lineare Abbildung die X beschreibt bijektiv ist. Jetzt kennst Du Dein $\begin{eqnarray*} f_A \end{eqnarray*}$ schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.12.2006, 18:13

Judith86

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Okay. Und wie zeige ich jetzt, dass die lineare Abbildung, die X beschreibt bijektiv ist?

16.12.2006, 18:27

Mazze

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Lineare Funktionen sind injektiv wenn nur die Null auf die Null abgebildet wird, setze also

$\begin{eqnarray*} f_A(X) = 0 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} XA = 0 \end{eqnarray*}$

nun weißt Du das A invertierbar ist also...

Zur Surjektivität haste ja schon den Tip!

16.12.2006, 18:45

Judith86

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Moment.... warum darf man in $\begin{eqnarray*} f_{A} \end{eqnarray*}$ eine Matrix einsetzen? Ich dachte $\begin{eqnarray*} f_{A} \end{eqnarray*}$ wäre eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} K^{n} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} K^{n} \end{eqnarray*}$

16.12.2006, 18:52

Mazze

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A wird abgebildet auf $\begin{eqnarray*} f_A \end{eqnarray*}$ da A eine Matrix ist und die Einheitsmatrix herauskommt ist

$\begin{eqnarray*} f_A: k^{n,n} \to k^{n,n} \end{eqnarray*}$

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16.12.2006, 19:00

Judith86

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verstehe ich nicht.... traurig

traurig

laut meinen aufzeichnungen aus der Vorlesung ist die einer (nxn)Matrix A zugeordnete lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f_{A} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} K^{n} \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} K^{n} \end{eqnarray*}$ . Also bildet $\begin{eqnarray*} f_{A} \end{eqnarray*}$ doch keine Matrix ab oder?

16.12.2006, 19:26

Mazze

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Ach so meinst Du das ok, wir haben linearen Abbildungen Matrizen zugeordnet und dann einfach $\begin{eqnarray*} A_b \end{eqnarray*}$ für die Basis b geschrieben.

Nun ich hab die Abbildung

$\begin{eqnarray*} f_A(X) : k^{n,n} \to k^{n,n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X \to XA \end{eqnarray*}$

interpretiert. Und laut deinem Wortlaut steht da

Zitat:

Betrachten Sie die Abbildung: $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wird abgebildet auf $\begin{eqnarray*} f_{A} \end{eqnarray*}$

Also wird eine lineare Abbildung auf eine lineare Abbildung abgebildet, also eine Matrix auf eine Matrix. Kannst Du vielleicht mal den original (!) wortlaut der Aufgabe angeben?

17.12.2006, 09:51

Judith86

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Der Originaltext lautet:
Hinweis: Betrachten Sie die Abbildung $\begin{eqnarray*} A \mapsto f_{A} \end{eqnarray*}$ und zeigen Sie, dass aus der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} XA=I_{n} \end{eqnarray*}$ die Surjektivität von $\begin{eqnarray*} f_{X} \end{eqnarray*}$ folgt.

Hab echt immernoch keinen plan, was ich bei der Aufgabe machen soll. Würde mich über Hilfe sehr freuen.

17.12.2006, 13:22

Judith86

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Gibt es hier niemanden, der mit weiterhelfen kann? traurig

traurig

17.12.2006, 13:23

Mazze

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Wie gesagt wenn Du es als Abbildung von Matrizen auf Matrizen siehst ist das wunderbar lösbar.

17.12.2006, 15:20

Judith86

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Aber das hilft mir ja nicht weiter!

BITTE HELFT MIR!!!!!!!

17.12.2006, 15:26

Mazze

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Immer mit der Ruhe. Jetzt machen wir das mal über Deinen Formalsimus, das heißt Du sagst $\begin{eqnarray*} f_A \end{eqnarray*}$ ist die lineare Abbildung die der Matrix A zugeordnet wird. Also wird $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ dem X zugeordnet. Die Multiplikation ist im wesentlichen die Verkettung linear Abbildungen damit bedeutet:

$\begin{eqnarray*} XA = I \end{eqnarray*}$

das selbe wie

$\begin{eqnarray*} (f_X \circ f_A)(x) = id(x) \end{eqnarray*}$

Die injektivität von $\begin{eqnarray*} f_X(v) \end{eqnarray*}$ zu zeigen geht wie oben in dem Du

$\begin{eqnarray*} f_X \circ f_A = 0 \end{eqnarray*}$

betrachtest. Und für die Surjektivität nimmst Du ein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ und zeigst das es ein Urblid $\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$ gibt.

17.12.2006, 15:49

Judith86

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Kannst du mir das mit der Injektivität mal genauer erklären. ich bekomm das nicht hin.....

17.12.2006, 16:12

Mazze

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Lineare Abbildungen sind injektiv wenn nur die Null auf die Null abgebildet wird also wenn

$\begin{eqnarray*} (f_X \circ f_A)(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Nun ist aber A invertierbar also auch $\begin{eqnarray*} f_A \end{eqnarray*}$ , also gilt was?

17.12.2006, 16:16

Judith86

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Aber auf diese Weise zeige ich doch, dass die Komposition injektiv ist..... ich vertseh das nicht......

17.12.2006, 16:30

Mazze

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Nicht wenn Du jetzt geschickt die Inverse von $\begin{eqnarray*} f_A \end{eqnarray*}$ anwendest.

$\begin{eqnarray*} (f_x \circ f_A)(x) = 0 \end{eqnarray*}$

ist äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} f_A^{-1}(f_x \circ f_A)) = f_A^{-1}(0) = 0 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} f_A^{-1}(f_x \circ f_A)) = f_A^{-1}(f_A(f_X(x))) = 0 \end{eqnarray*}$

Ich find das so eh alles übertrieben, man könnte nämlich die Invertierbarkeit von X viel einfacher durch einfaches Matrix umformen erlangen. Aber was solls, wenn ihr das so machen sollt...

edit: vielleicht hilft es Dir mehr wenn Du es so machst:

Sei $\begin{eqnarray*} f_X(x) = 0 \end{eqnarray*}$

dann ist mit sicherheit auch

$\begin{eqnarray*} f_A(f_X(x)) = 0 \end{eqnarray*}$

weil A invertierbar ist. Und wegen

$\begin{eqnarray*} f_A(f_X(x)) = 0 = id(x) \end{eqnarray*}$

muss x also was sein?

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