Körper, Summe von Einsen - Seite 2

04.07.2011, 18:41

tmo

Dann versuchen wir diese Implikation nochmal.

Du weißt $\begin{eqnarray*} |K|=p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Char K = p \end{eqnarray*}$ .

Was folgt nun mit der Aufgabe, dir wir als erstes in diesem Thread hatten?

04.07.2011, 18:52

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

es ist also $\begin{eqnarray*} \operatorname{Char}K=p \end{eqnarray*}$ .

Dann existiert nach der vorigen Aufgabe ein Unterkörper $\begin{eqnarray*} L\subseteq K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L\cong \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ .

Wenn man nun noch voraussetzt, dass $\begin{eqnarray*} |K|=\operatorname{Char}K=p \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} |L|=p \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} L\cong \mathbb Z_p\ \Rightarrow\ |L|=\left|\mathbb Z_p\right|=p \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt aber $\begin{eqnarray*} |K|=|L| \land L\subseteq K\ \ \Rightarrow\ \ K=L \end{eqnarray*}$ .

04.07.2011, 19:29

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Aber jetzt kann ich irgendwie nicht verstehen, warum die die Folgerung jetzt immer noch unklar ist. Es ist doch alles gezeigt.

04.07.2011, 19:32

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist nun klar, dass $\begin{eqnarray*} K=L \end{eqnarray*}$ und daher auch $\begin{eqnarray*} K\cong \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ .

Allerdings wurde jetzt vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} |K|=p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{Char} K = p \end{eqnarray*}$ .

Wenn man nur voraussetzt, dass $\begin{eqnarray*} |K|=p \end{eqnarray*}$ , weiß ich nicht wie man die Implikation zeigen kann...

04.07.2011, 19:40

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

1. In der Aufgabe wurde zusätzlich vorrausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} Char K = p \end{eqnarray*}$ . Du machst dir manchmal künstlich Probleme, wo gar keine sind.

2. Aus $\begin{eqnarray*} |K|=p \end{eqnarray*}$ und p prim folgt übrigens sofort $\begin{eqnarray*} Char K = p \end{eqnarray*}$ . Schließlich teilt die Charakteristik nach dem Satz von Lagrange die Körperordnung. Der einziger Teiler von p ist aber p. Denn 1 komtm sowieso nicht als Char. in Frage.

04.07.2011, 19:50

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso,
dann ist das natürlich klar.

Es gilt also allgemein auch:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Char}K=p\ \ \Rightarrow\ \ K\cong \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ .

04.07.2011, 19:54

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Wie kommst du denn darauf?

04.07.2011, 19:57

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten ja festgehalten:
$\begin{eqnarray*} |K|=p\ \ \Rightarrow\ \ K \cong \mathbb Z_p\quad \text{mit}\ p\in\mathbb P \end{eqnarray*}$

Daher gilt: $\begin{eqnarray*} |K|=\operatorname{Char}K \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \operatorname{Char}K=p\ \ \Rightarrow\ \ K\cong \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ .

04.07.2011, 20:07

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzte Implikation ist aussagenlogisch völlig unbegründet. Und schließlich auch falsch.

Du weißt $\begin{eqnarray*} A \Rightarrow B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \Rightarrow C \end{eqnarray*}$

Du willst daraus folgern: $\begin{eqnarray*} B \Rightarrow C \end{eqnarray*}$ . Das kann nicht funktionieren.

04.07.2011, 20:14

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte mir das eigentlich so:

$\begin{eqnarray*} |K|=p\ \ \Rightarrow\ \ K \cong \mathbb Z_p\quad \text{mit}\ p\in\mathbb P \end{eqnarray*}$ stimmt ja.

Nun ist die Charakteristik gleich der Körperordnung (aus dem von dir genannten Grund): Die Charakteristik teilt die Körperordung, eine Primzahl besitzt nur 1 und sich selbst als Teiler (Körperordnung ist prim), daher Charakteristik genau diese Primzahl.

Also kann man sagen:
$\begin{eqnarray*} |K|=\operatorname{Char}K\quad\text{wenn}\ |K|\ \text{prim} \end{eqnarray*}$

Dann ersetze ich $\begin{eqnarray*} |K| \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \operatorname{Char}K \end{eqnarray*}$ .
(^^ hier könnte der Fehler liegen?)

Also $\begin{eqnarray*} \operatorname{Char}K=p\ \ \Rightarrow\ \ K\cong \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ .

04.07.2011, 20:17

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau da der liegt der Fehler. Du könntest das nur so ersetzen, wenn

$\begin{eqnarray*} |K| = p \Longleftrightarrow Char K = p \end{eqnarray*}$ gelten würde.

Aber es gilt ja nur die Hinrichtung.

04.07.2011, 20:20

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke sehr smile

Damit wären meine Fragen fürs erste geklärt.

Du hast mir sehr geholfen.

« vorherige Seite 12

Neue Frage »

Antworten »

Körper, Summe von Einsen - Seite 2

Verwandte Themen