Spaltenraum einer Matrix

03.07.2011, 12:24	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
Spaltenraum einer Matrix Hallo, ich habe eine kurze Frage zum Spaltenraum einer Matrix. Angenommen, ich habe eine Matrix $\begin{eqnarray} A \in K^{4 \times 4 } \end{eqnarray}$ gegeben, und möchte den Spaltenraum der Matrix bestimmen. Ich kann ja nun auf verschiedene weisen den Rang der Matrix A bestimmen, und weiß so schon, wieviele linear unabhängige Spalten die Matrix hat. Wenn ich den Rang nun über den Gauß-Algorithmus(Spaltenumformungen) bestimme, und am Ende beispielsweise 1 Nullspalte erhalte, ist klar, dass der Rang der Matrix 3 ist. Doch welche Spalten spannen nun den Spaltenraum der Matrix auf? Diejenigen Spalten (außer der Nullspalte), die ich erhalte, nachdem die Matrix in Spaltenstufenform ist, oder einfach (wahllos) drei linear unabhängige Spalten der ursprünglichen Matrix, von der ich ausgegangen bin? danke schonmal im voraus.
03.07.2011, 12:26	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Teste das doch mal an der Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
03.07.2011, 12:34	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
danke. bei der Matrix wäre der Spaltenraum $\begin{eqnarray} <(1,1)^T> \end{eqnarray}$ , aber genauso gut wäre ja auch $\begin{eqnarray} (5,5)^T \end{eqnarray}$ eine Basis des Spaltenraums der Matrix. Demzufolge spielt es also keine Rolle, ob ich diejenigen Spalten nehme, die ich nach dem Gauß-Algorithmus erhalte, oder ob ich die ursprünglichen Spalten der Matrix nehme.
03.07.2011, 12:38	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das legt natürlich die Vermutung nah, dass es immer so ist. Was macht man denn, wenn man eine Spaltenumformung durchführt? Und warum ändert sich dabei der Spaltenraum nicht? Das Stichwort ist (ich glaube so hieß der): Basisaustauschlemma oder Basiswechselsatz.
03.07.2011, 12:55	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
durch eine Spaltenumformung wechselt man ja bloß die Basis bezüglich derer die Matrix dargestellt wird. Der Raum, der von dieser Basis aufgespannt wird, bleibt aber der gleiche, wenn ich das richtig verstanden habe.

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