Newton Verfahren

03.07.2011, 13:44

Prone

Newton Verfahren

Hallo, ich sitze hier an einer Aufgabe und irgendwie komme ich da nicht weiter...

Also gegeben ist diese Funktion hier:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-\frac{1}{x^{2}} } -0,7 \end{eqnarray*}$

Ich habe sie ersteinmal Abgeleitet

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}e^{-\frac{1}{x^{2}} } \end{eqnarray*}$

Und dann halt mit der Iterationsvorschrift von Newton es weiter gemacht

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_{n} - \frac{e^{-\frac{1}{x_n^{2}} } -0,7}{-\frac{2}{x_n^{3}}e^{-\frac{1}{x_n^{2}} }} = x_n + \frac{x_n^{3} }{2} - \frac{0,7x_n^3}{2e^{-\frac{1}{x_n^2} } } = x_n(1+x_n^2(\frac{1}{2}-0,35e^{\frac{1}{x_n^2} } ) \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis lautet laut Lösung: $\begin{eqnarray*} x_n(1+x_n^2(a\cdot e^{\frac{1}{x_n^2} } -b) \end{eqnarray*}$
Wobei a und b bestimmt werden sollen.

Ich habe irgendwo ein Vorzeichen fehler und finde den einfach nicht! Kann mir bitte wer helfen unglücklich

03.07.2011, 20:29

mYthos

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Was von der Funktion soll eigentlich bestimmt werden? Wohl die Nullstelle?
Abgesehen davon ist kein Fehler zu sehen. Wenn du in der Lösung a = -0,35 und b = -1/2 setzt, kommst du auch auf dein Resultat.

mY+

03.07.2011, 21:52

Prone

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Ja die Nullstelle soll mit den Newton Verfahren bestimmt werden.

Aber das Problem ist, dass ich nicht das richtige Ergebnis bekomme.

Wenn ich diese Iterrationsvorschrift benutze Konvergiert sie nicht gegen die Nullstelle...

Also muss da Irgendwo was Falsch sein.

03.07.2011, 22:34

mYthos

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Es gibt ein anderes Problem: Bei dieser Funktion konvergiert das Newton-Verfahren nicht.

[EDIT:] Diese Behauptung stimmt nicht, sorry, Fehler meinerseits.

Alternative: Regula Falsi, Bisektion, .. mit Intervall [1.5 ; 2]
Allerdings könntest du die Lösung leicht durch Logarithmieren berechnen (+1.6744, ...).

mY+

04.07.2011, 12:34

Prone

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Wenn man nach der Aufgabenstellung geht, muss diese Aufgabe mit den Newton Verfahren lösbar sein...

Das mit der Logarithmierung habe ich auch schon gesehen, nur ist es leider in der Aufgabe nicht gefragt Big Laugh

.

[attach]20414[/attach]

05.07.2011, 17:04

tigerbine

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In der Ableitung ist ein Vorzeichenfehler. Es muss lauten

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2}{x^{3}}e^{-\frac{1}{x^{2}} } \end{eqnarray*}$

code:

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37:

s wird eine Nullstelle mittels Newton approximiert
Funktion in bisektionf.m anlegen
Ableitung in newtondf.m anlegen
 
Intervall [a,b] eingeben:
a= -5
b= 5
 
Gewünschte Genauigkeit: eps= 10^(-8)
 
Hat die Funktion auf [a_0,b_0] mehrere Nullstellen? (0-ja, 1-nein) 0
Bitte kleineres Intervall wählen
>> new
 
Es wird eine Nullstelle mittels Newton approximiert
Funktion in bisektionf.m anlegen
Ableitung in newtondf.m anlegen
 
Intervall [a,b] eingeben:
a= 1
b= 2
 
Gewünschte Genauigkeit: eps= 10^(-8)
 
Hat die Funktion auf [a_0,b_0] mehrere Nullstellen? (0-ja, 1-nein) 1
Startwert eingeben: x0= 1
 
  x_n+1            x_n           Delta
============================================
  1.451399        1.000000       0.451399 
  1.642920        1.451399       0.131956 
  1.673746        1.642920       0.018763 
  1.674417        1.673746       0.000401 
  1.674417        1.674417       0.000000 
  1.674417        1.674417       0.000000 
 
Genauigkeit erreicht

@mYthos:

Wie meinst du das mit nicht konvergieren? Probleme durch das Vorzeichen, oder was hast du als Startwert gewählt? Es war 1 gegeben. Ob ein anderer Probleme macht [so ala arctan] weiß ich adhoc nicht.

Wink

05.07.2011, 17:20

Prone

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Ja, wenn ich das dann umstelle komme ich aber auf

$\begin{eqnarray*} x_n\left(1-x_n^2\left(\frac{1}{2} +0,35e^{\frac{1}{x_n^2} }\right)\right) \end{eqnarray*}$

Das stimmt auch nicht.

05.07.2011, 17:22

tigerbine

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Auf welche Aufgabe beziehst du dich nun? Ich habe dir mit der richtigen Ableitung doch vorgerechnet, dass das Verfahren konvergiert. Also kein Platz für ein "aber".

05.07.2011, 17:27

Prone

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Zitat:

Original von tigerbine
Auf welche Aufgabe beziehst du dich nun? Ich habe dir mit der richtigen Ableitung doch vorgerechnet, dass das Verfahren konvergiert. Also kein Platz für ein "aber".

Die Aufgabe 3c da steht auf welche Form man diesen Term umstellen soll.

Und da komme ich einfach nicht drauf.

05.07.2011, 17:39

tigerbine

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Es ist hier einfach sauber Schritt für Schritt zu rechnen.

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}&& = x_{n} - \frac{e^{-\frac{1}{x_n^{2}} } -0,7}{\frac{2}{x_n^{3}}e^{-\frac{1}{x_n^{2}} }}<br /> &&= x_{n} - \frac{e^{-\frac{1}{x_n^{2}} }}{\frac{2}{x_n^{3}}e^{-\frac{1}{x_n^{2}} }} + \frac{0.7}{\frac{2}{x_n^{3}}e^{-\frac{1}{x_n^{2}} }}<br /> &&=x_n-\frac{1}{2}x_n^3+0.35x_n^3 e^{\frac{1}{x_n^{2}}} \end{eqnarray*}$

05.07.2011, 17:44

Prone

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Ja, habe jetzt den Fehler gefunden, ich habe beim Ausklammern ein Fehler gemacht unglücklich

05.07.2011, 17:45

tigerbine

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05.07.2011, 18:59

mYthos

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Ich hatte leider beim Newton-Verfahren einen Rechenfehler, dieses konvergiert für die gegebene Funktion tatsächlich!

Sorry!

mY+

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