Transformation von Doppelintegral

03.07.2011, 14:15

apollon

Transformation von Doppelintegral

Hi, ich möchte gern wissen, wie man auf die neuen Integrationsgrenzen nach der Transformation (in Polarkoordinaten) kommt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \int_x^{\sqrt{8-x^2}} \! \frac{1}{5+x^2+y^2} \, dy dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\sqrt{8}} \! \frac{r}{5+r^2} \, dr d\phi \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank!
Apollon

03.07.2011, 15:02

Wetal

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du weißt ja, dass

$\begin{eqnarray*} x \leq y \leq \sqrt{8 - x^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 2 \end{eqnarray*}$

wende nun deine substitution an, dann erhälst du

$\begin{eqnarray*} r\cos(\varphi) \leq r \sin(\varphi) \leq \sqrt{8 - r^2 \cos(\varphi)^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \leq r \cos(\varphi) \leq 2 \end{eqnarray*}$

teilt man nun beide ungleichungen durch r>0, dann ließt man ab:

$\begin{eqnarray*} \cos(\varphi) \leq \sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \leq \cos(\varphi) \end{eqnarray*}$

das ist nur für $\begin{eqnarray*} \varphi \in ( \pi/4, \pi/2 ) \end{eqnarray*}$ erfüllt.

ferner erhält man aus der ersten ungleichung durch quadrieren und subtrahieren

$\begin{eqnarray*} 2r^2\cos(\varphi)^2 \leq r^2\sin(\varphi)^2 - r^2 \cos(\varphi)^2 = r^2 \leq 8 \end{eqnarray*}$
das ist auch erfüllt für $\begin{eqnarray*} r \in ( 0, \sqrt 8 ) \end{eqnarray*}$

\edit: dies setzt voraus, dass du eine transformation mit $\begin{eqnarray*} r \in (0, \infty) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \in (0, 2\pi) \end{eqnarray*}$ anwendest

03.07.2011, 15:34

apollon

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Super! Ich danke dir!

14.12.2011, 00:14

Bluntastic

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Also - wenn ich hier nochmal einsteigen darf...

Zitat:

du weißt ja, dass

$\begin{eqnarray*} x \leq y \leq \sqrt{8 - x^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 2 \end{eqnarray*}$

warum? Ich mein woher weiß man/er/du das?

Ich habe auch etwas die Verständnisprobleme bei der Transformation von kartesischen in Polar- bzw Kugel- oder Sonstwiekoordinaten. Trau mich nur nicht bei der Menge einen neuen Fred auf zu machen...

14.12.2011, 10:18

René Gruber

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Zitat:

Original von Bluntastic

Zitat:

du weißt ja, dass

$\begin{eqnarray*} x \leq y \leq \sqrt{8 - x^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 2 \end{eqnarray*}$

warum? Ich mein woher weiß man/er/du das?

Aus der Integraldarstellung, da steht es doch direkt da: Die innere $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Integration ist $\begin{eqnarray*} \int_x^{\sqrt{8-x^2}} \end{eqnarray*}$ , bei festem äußeren $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus dem Bereich $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 2 \end{eqnarray*}$ .

14.12.2011, 17:14

Bluntastic

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Oh, ja. War mir nicht klar, dass das quasi eine andere art der Darstellung der Grenzen ist... Danke smile

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