Stetigkeit-->Abgeschlossenheit?

16.12.2006, 15:49

Valerius

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Stetigkeit-->Abgeschlossenheit?

hei
ich hab folgendes prblem:
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \to \mathbb R , stetig, N(f):= \{ x|x\in\mathbb R, f(x)=0\} \end{eqnarray*}$
z.z: N(f) ist abgeschlossen
also ich hab mir gedacht, ich könnte irgendwie zeigen, dass alle häufungspunkte von N(f) zu N(f) gehören, aber irgendwie komm ich da nich weiter, weil wenn die funktionsvorschrift zB: f(x)=x wäre, gäbe es ja nur genau ein f(x)=0, nämlich 0, was also dann kein hp wäre...
wär nett, wenn mir einer nen anfang geben könnte smile

smile

16.12.2006, 16:20

Mazze

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Was heißt es denn das eine Menge abgeshclossen ist?
Schreib den Topologischen begriff hin und setze dann an:

Sei x ein innerer Punkt von N(f) , dann ... (stetigkeit ausnutzen , Grenzwert !)

edit:

Man sollte mit inneren Punkten argumentieren, muss dann aber eine nichtleere Menge annehmen. Das kann man machen weil die leere Menge abgeschlossen ist.

16.12.2006, 17:20

Valerius

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Wir haben abgeschlossen so definiert:
$\begin{eqnarray*} y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist häufungspunkt von N(f): $\begin{eqnarray*} \Leftarrow\Rightarrow \forall \alpha > 0 \exists x \in N(f): x\in B(y,\alpha) \end{eqnarray*}$
N(f) ist abgeschlossen, wenn alle hp von N(f) zu N(f) gehören.

Wenn ich jetzt also weiß, dass N(f) keine inneren Punkte besitzt, kann ich doch daraus nicht schließen, dass es nur hps hat, die noch dazu alle zu N(f) gehören...
ich versteh den ansatz leider nich

16.12.2006, 18:13

Mazze

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Ja, ich wollte das "innerer" Punkt gerade auch komplett Streichen und es völlig reicht $\begin{eqnarray*} x \in N(f) \end{eqnarray*}$ anzunehmen und dann über die stetigkeit sofort bekommt das x ein Berührpunkt ist wenn N(f) auf einer Umgebung um x nicht konstant ist. Für Konstanten wird es dann aber trivial.

Sei also $\begin{eqnarray*} x \in N(f) \end{eqnarray*}$ zu zeigen wäre das x ein Häufungspunkt ist. Sei U eine Umgebung um x auf der f nicht konstant ist (sonst wäre f gleich der Nullfunktion). Dann existiert also ein y aus U mit $\begin{eqnarray*} f(y) \neq 0 \end{eqnarray*}$
Jetzt nimm dir die stetigkeit von F und Du hast deine alphas.

17.12.2006, 01:30

Marcyman

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"Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen unter stetigen Funktionen" hilft hier übrigens auch, falls ihr den Satz schon hattet.

17.12.2006, 11:10

Mazze

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Zitat:

"Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen unter stetigen Funktionen" hilft hier übrigens auch, falls ihr den Satz schon hattet.

Das ist falsch, Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} f : (0,1) \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \to 1 \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{1\}) = (0,1) \end{eqnarray*}$

und das ist offen wobei die Menge {1} natürlich abgeschlossen ist. Du hast die Kausalitäten verändert es ist:

f stetig :

genau dann wenn Urbilder offener Mengen offen sind

genau dann wenn Bilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind.

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17.12.2006, 12:44

Marcyman

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Ich sehe zwar den Haken an deinem Beispiel gerade nicht, aber wenn du mal hier unter "abgeschlossene Mengen" schaust, siehst du, dass der von mir zitierte Satz stimmt (Beweis siehe Heuser oder AnaI Skripte). Ich werd nochmal über dein Beispiel nachdenken...

17.12.2006, 13:09

Mazze

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Tja ich hab mich selber über das Problem gewundert da wir es so auch in unserem Srkipt haben aber es ist klar das:

Die 1 Funktion stetig auf (0,1) ist.
Das Bild unter f von (0,1) abgeschlossen ist, nämlich {1}
Das Urbild von {1} aber die Menge (0,1) ist und die ist offen:

Es kann nun sein das:

f eingeschränkt auf (0,1) nicht stetig ist
{1} nicht abgeschlossen
(0,1) nicht offen
oder (0,1) nicht das Urbild unter f ist.

Wie man sieht kann höchstens das letzte Verletzt sein. Und ich denke da liegt das Problem.

17.12.2006, 20:44

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mazze
Wie man sieht kann höchstens das letzte Verletzt sein. Und ich denke da liegt das Problem.

Alle diese vier Aussagen sind falsch. Sei $\begin{eqnarray*} X=(0,1) \end{eqnarray*}$ . Dann ist die Funktion auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ definiert und bildet in eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\in M \end{eqnarray*}$ ab (in welche ist egal). Klarerweise ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ offen (genauer: $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ -offen). Aber $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ -abgeschlossen! Man muss immer aufpassen, welche Grundmenge man zugrunde legt. Der Satz sagt nämlich folgendes aus:
Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ topologische Räume) ist genau dann stetig, wenn das Urbild jeder $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ -abgeschlossenen Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ -abgeschlossen ist.

Gruß MSS

17.12.2006, 21:17

Mazze

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Gut gut, dann ist das soweit auch klar. Hoffe nur das hat jetzt den eigentlichen Threadersteller nich zu sehr verwirrt.

17.12.2006, 21:42

gast1

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Zitat:

Original von Mazze
[...]
und das ist offen wobei die Menge {1} natürlich abgeschlossen ist. Du hast die Kausalitäten verändert es ist:

f stetig :

genau dann wenn Urbilder offener Mengen offen sind

genau dann wenn Bilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind.

"das ist offen" ist kein Argument dafür, dass die Menge nicht abgeschlossen ist, offen und abgeschlossen haben für eine Menge nichts miteinander zu tun (weder impliziert das eine das andere noch schließt das eine das andere aus). (0,1) ist als Teilmenge von (0,1) sowohl offen als auch abgeschlossen.

Bilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen müssen übrigens nicht abgeschlossen sein, man betrachte nur die Inklusion $\begin{eqnarray*} (0,1)\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (das ist auch der Grund dafür, dass ein bijektiver Morphismus in der Kategorie der topologischen Räume kein Isomorphismus sein muss; da muss man also ein bisschen aufpassen, weil man das aus den üblichen algebraischen Kategorien ja so gewöhnt ist).
Auch impliziert die Abgeschlossenheit der Abbildung nicht die Stetigkeit, ein Gegenbeispiel findet man leicht.

17.12.2006, 22:40

Valerius

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Hei
Also dieses kurze Intermezzo hat mich leider kein bisschen weitergebracht, den Satz: "Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen unter stetigen Funktionen" hatten wir eh noch nich, und aus der letzten Antwort von Mazze werd ich auch nich schlau. Es ging doch darum zu zeigen, dass x ein Häufungspunkt ist und da bringt es mir doch nichts zu wissen, dass in der Umgebung U um x ein y ist, das nicht element N(f) ist. Ich muss ja zeigen, dass es ein z gibt, das element N(f) ist...
ach ich weiss einfach nich weiter

17.12.2006, 22:46

Mathespezialschüler

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Ok, du musst zeigen, dass jeder Häufungspunkt der Menge in ihr liegt. Sei $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} N(f) \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es nach der Definition zu jedem $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x\in N(f) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-y|<\alpha \end{eqnarray*}$ . Klarerweise muss dann $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ sein. Wenn du $\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ setzt, dann gibt es zu jedem solchen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_n\in N(f) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x_n-y|<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .
Nun ist es eigentlich ganz einfach. Konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ ? Wenn ja, wogegen? Und was folgt aus der Stetigkeit dann für $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

17.12.2006, 23:28

Valerius

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Also (x_n) konvergiert gegen y, da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}\Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ . Aber wie sich die Stetigkeit dann auf f(y) auswirkt, weiß ich nich. Eigentlich müsste ja wegen der Konvergenz f(y)=0 gelten, aber des is ja nach Vorraussetzung nich möglich, da $\begin{eqnarray*} y\neq x \end{eqnarray*}$ ...

17.12.2006, 23:46

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Valerius
Eigentlich müsste ja wegen der Konvergenz f(y)=0 gelten, aber des is ja nach Vorraussetzung nich möglich, da $\begin{eqnarray*} y\neq x \end{eqnarray*}$ ...

Was ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und welche Voraussetzung meinst du? Natürlich ist $\begin{eqnarray*} f(y)=0 \end{eqnarray*}$ . Denn aus $\begin{eqnarray*} x_n\to y \end{eqnarray*}$ folgt wegen der Stetigkeit auch $\begin{eqnarray*} f(x_n)\to f(y) \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} f(x_n)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} f(y)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}0=0 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

18.12.2006, 00:05

Valerius

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Ich meinte die Definition des Häufungspunktes, habs aber verplant, also egal smile

smile

Jetz is es ja glaub ich klar: da y und x beliebig waren, liegen alle hp in N(f), das heißt die Menge ist abgeschlossen.
Danke euch, ich wäre da nich draufgekommen, dass ich da mit ner Folge arbeiten muss.

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