gleichmäßige Konvergenz

03.07.2011, 19:54	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
gleichmäßige Konvergenz Servus, ich möchte zeigen, dass die Funktionenreihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty (1-x)(-x)^k \end{eqnarray}$ auf dem reellen Intervall $\begin{eqnarray} I=[0,1] \end{eqnarray}$ gleichmäßig konvergiert. Das heißt doch dann, wenn die Grenzfunktion $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ und die Partialsummen $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ lauten: Für alle epsilon>0 gibt es ein N, sodass für alle $\begin{eqnarray} n\geq N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|S-S_n\|<\varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in I \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} \|S-S_n\|=\left\|\frac{1-x}{1+x}-(1-x)\frac{1-(-x)^{n+1}}{1+x}\right\|=\left\|\frac{1-x}{1+x}(1-(1-(-x)^{n+1}))\right\|=\frac{1-x}{1+x}x^{n+1}\leq (1-x)x^n \end{eqnarray}$ Wie kann ich das jetzt noch weiter abschätzen, sodass ich die Abhängigkeit von x wegbekomme, was ja mein Ziel ist, damit ich nach n auflösen kann?
03.07.2011, 20:09	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Fallunterscheidung: 1) $\begin{eqnarray} 1 -x < \epsilon \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} x \geq 1 - \epsilon \end{eqnarray}$
03.07.2011, 21:07	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst sicherlich für 2): $\begin{eqnarray} x\leq 1-\varepsilon \end{eqnarray}$ Fall 1: $\begin{eqnarray} (1-x)x^n < \varepsilon x^n \leq \varepsilon \end{eqnarray}$ Für diesen x-Bereich ist es immer erfüllt (unabhängig von n). Fall 2: $\begin{eqnarray} (1-x)x^n \leq (1-x)(1-\varepsilon)^n \leq (1-\varepsilon)^n \stackrel{!}{<} \varepsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow n\ln(1-\varepsilon)<\ln(\varepsilon) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow n>\frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(1-\varepsilon)} \end{eqnarray}$ Hast du es so gemeint?
03.07.2011, 21:29	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja

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