Problem mit Gewöhnlicher Differenzialgleichung

03.07.2011, 21:50

Rentabader

Problem mit Gewöhnlicher Differenzialgleichung

Suche die allg. reele Lösung des DGL:

$\begin{eqnarray*} y'''+2y''=r(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} r(x)=24x \end{eqnarray*}$

Mein Vorgehen:

allg. homogene Lösung:

$\begin{eqnarray*} C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{-2x} \end{eqnarray*}$

nun zur Partikularen Lösung:

Wie lautet den der Ansatz für die partikulare Lösung...

.. in meinem Buch steht:
Störfunktion $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ :

1. Polynomfunktion vom Grade n

$\begin{eqnarray*} g(x) = P_{n}(x) \end{eqnarray*}$

Lösungsansatz $\begin{eqnarray*} y_{p}(x) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} y_{p}=Q_{n}(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a_{0} \neq 0 \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} y_{p}=x^{k}*Q_{n}(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a_{0}=a_{1}=...=a_{k-1}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q_{n}(x) \end{eqnarray*}$ : Polynom vom Grade n

Parameter: Koeffizienten des Polynoms $\begin{eqnarray*} Q_{n}(x) \end{eqnarray*}$

Das soll mal jemand Blicken, kann mir das jemand mal auf Deutsch übersetzten?

03.07.2011, 21:54

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu solltest du erstmal ergründen, welche inhaltliche Bedeutung diese $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ haben - ordentlich nachlesen!

Korrekt sollte diese Zeile

Zitat:

Original von Rentabader
$\begin{eqnarray*} y_{p}=x^{k}*Q_{n}(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a_{0}=a_{1}=...=a_{k-1}=0 \end{eqnarray*}$

eigentlich auch eher lauten

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y_{p}=x^{k}*Q_{n}(x) \end{eqnarray*}$ , falls es ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} a_{0}=a_{1}=...=a_{k-1}=0,a_k\neq 0 \end{eqnarray*}$

03.07.2011, 22:29

Rentabader

Auf diesen Beitrag antworten »

habs genauso abgeschrieben, wie es im Buch steht, zu "a" konnte ich nur finden:

Lösung der zugehörigen charakteristischen Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+...a_{1}\lambda+a_{0}=0 \end{eqnarray*}$

übertrag auf meine Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \lambda^{3}+2\lambda^{2}+0\lambda+0=0 \end{eqnarray*}$

also wär ja dann das $\begin{eqnarray*} a_{0}=0 \end{eqnarray*}$ und es würde der Ansatz:

$\begin{eqnarray*} x^{k}*Q_{n}(x) \end{eqnarray*}$ gelten...

aber was ist dann k und wie schaut das den nun aus?

etwa:

$\begin{eqnarray*} a_{0}=0,a_{1}=0, a_{2}=2, a_{3}=1 \end{eqnarray*}$

und weil $\begin{eqnarray*} a_{k-1} \end{eqnarray*}$

gilt dann in etwa das hier?:

$\begin{eqnarray*} x^{1}*Qn(x)+x^{2}*Qn(x)+Qn(x)+Qn(x) \end{eqnarray*}$

03.07.2011, 23:38

Rentabader

Auf diesen Beitrag antworten »

jaa der ansatz war quatsch XD...

richtig war:

$\begin{eqnarray*} x(Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+d) \end{eqnarray*}$

Danke trotzdem Augenzwinkern

04.07.2011, 07:25

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit kommst du zwar zum Ziel, so ist aber die Anleitung nicht gemeint. Aus

Zitat:

Original von Rentabader
$\begin{eqnarray*} a_{0}=0,a_{1}=0, a_{2}=2, a_{3}=1 \end{eqnarray*}$

kann man $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ ablesen, was bei deinem linearen Störglied $\begin{eqnarray*} 24x \end{eqnarray*}$ (also $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ) zum Ansatz

$\begin{eqnarray*} y_p(x) = x^2Q_1(x) = x^2(Bx+C) \end{eqnarray*}$

führt. Das ist strukturell ein Teil deines Ansatzes, bei welchem du zwangsläufig auf $\begin{eqnarray*} A=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ beliebig kommst, d.h. dein Ansatz ist überkompliziert angelegt. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Problem mit Gewöhnlicher Differenzialgleichung

Verwandte Themen