Umkehrfunktion von quadratischen Gleichungen |
| 04.07.2011, 10:49 | Meisel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Umkehrfunktion von quadratischen Gleichungen Hallo Leute! Brauche dingend eure Hilfe! Es geht um die Umkehrfunktion von quadratischen Gleichungen. Wäre jedem super arg dankbar, der einen kuzen Blick über die Aufgaben werfen würde 
Hier die Aufgaben: a) y = x²+1 b) y = -2(x-1)² c) y = (x+3)² d) y = 2x² + 2 Vielen lieben Dank schon mal im Vorraus!
Meine Ideen: Natürlich habe ich versucht die Aufgaben selbst anzugehen, aber bin mir sehr unsicher was die Lösungen angehen... 
Meine Lösungen: a) y = x²+1 /-1 y - 1 = x² /:1 y-1/1 = x² y = 1/x²-1 ----------- ----------- b) y = -2(x-1)² y = -2x² - 1² y = -4x² - 1 /+1 y+1 = -4x² /
-4)y+1/(-4) = x² y = (-4)/x²+1 ------------- ------------- c) y = (x+3)² y = x² + 6x + 9 /-6x y-6x = x² + 9 / -y -6x = x² + 9 - y /
-6)x = x²+9-y/
-6)y = (-6)/x²+9-x ------------------ ------------------ d) y = 2x² + 2 /-2 y - 2 = 2x² /:2 y-2/2 = x² y = 2/x²-2 ---------- ---------- |
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| 04.07.2011, 11:39 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beim zweiten gilt: Binomische Formel. Beim ersten: Durch 1 zu teilen kannste dir sparen...ändert nix an der Sache 
Deinen vorletzen auf letzten Schritt kann ich in keinem der Fälle nachvollziehen 
Habt ihr es nicht so gelernt, dass man x und y vertauscht und nach y auflöst?
Versuch das mal. |
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| 04.07.2011, 12:36 | Meisel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, ich hab die b) jetzt nochmal mit Binomischer Formel probiert... nun sieht es so aus: y = -2(x-1)² y = -2x² + 4x + 2
y - 4x = -2x² + 2 -4x = -2x² + 2 - y x = -2x² + 2 - y / 4 --> hab den ganzen Term durch 4 geteilt, damit x alleine steht y = -2x² + 2 - x /4 --> am Ende hab ich x und y vertauscht
PS: In meiner Schule wurde das Thema Umkehrfunktion nicht durchgenommen... deshalb hab ich mir vorgenommen einige Mathethemen selbst an zu eignen
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| 04.07.2011, 12:47 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die binomische Formel ist falsch. Oder sie ist richtig und du hast falsch weitergemacht. Beim letzten Term müsste es -2 sein
Ich würde sagen ich rechne dir die erste mal vor, dann machst du die anderen ganz nach meinem Schema. Das Problem ist, ich weiß nicht wie euer Lehrer euch das beibringen wird und das vorarbeiten ist in der Schule deshalb (leider) schwieriger :P Ich gehe aber mal von meinem Weg aus, dieser ist wohl der gebräuchlichste
f(x)=y = x²+1 Variablen werden getauscht um f^-1(x) zu erhalten: x=y²+1 Nun nach y wieder auflösen: Damit sind wir fertig
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| 04.07.2011, 14:20 | Meisel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mmh... eine Wurzel in der Umkehrfunktion hab ich noch nie gesehen 
aber gut, ich versuch mal meine Aufgaben nach Deinem Schema zu lösen
Bei Problemen meld ich mich wieder :P Bei der anderen Aufgabe haste mir auch toll geholfen
Jetzt muss ich mich anderen Dingen widmen 
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| 04.07.2011, 14:24 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, wir habens auch mit quadratischen Gleichungen zu tun
Da kommt dann schnelldie Wurzel ins Spiel. Was wichtigeres als Mathe? Na gut, bis denne und freut mich wenn ich helfen konnte
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| 06.07.2011, 12:53 | Meisel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Huhu! 
Musste mich mal wieder der Mathematik widmen
Hab auch probiert die Funktionen zu lösen :P Mal gespannt ob sie richtig sind... Also: y = 2x² + 2 x = 2y² + 2 -2y² = -x + 2 y² = 1/2x - 1 y = Wurzel 1/2x -1 --------------------------- --------------------------- y = (x+3)² y = x² + 6x + 9 x = y² + 6y + 9 -y² = -x +6y + 9 y² = x - 6y - 9 y = Wurzel x - 6y - 9 ----------------------------- ----------------------------- y = -2(x-1)² y = -2x² + 4x + 2 x = -2y² + 4y + 2 2y² = -x + 4y + 2 y² = -1/2x + 2y + 1 y = Wurzel -1/2x + 2y + 1 ------------------------------------ ------------------------------------ Hoffe es schaut nochmal jmd drüber
Ganz lieber Gruß
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| 06.07.2011, 13:03 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das erste ist richtig 
Das zweite kann schon gar nicht sein, weil rechts noch ein y in der Klammer steht. Wie wärs wenn du als erstes die Wurzel ziehst, dann biste fast fertig^^ Beachte hier die Vorzeichen, beim Wurzelziehen! Das dritte: Gleiche Problem wie beim Zweiten. Gleicher Weg wie beim Zweiten um das zu Lösen
Vorher natürlich durch -2 dividieren.Um das Minus zu verpacken (sonst kannste ja keine Wurzel ziehen) nimm es in das y auf. Also links steht dann: . y darf dann natürlich nur was sein? (Also ich hab die Variablen noch nicht getauscht :P)
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| 06.07.2011, 13:35 | Meisel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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na wenigstens hab ich eins richtig... ... bei den letzten beiden versteh ich nicht so ganz was Du meinst
y = (x+3)² y = x² + 6x + 9 --> bis hier stimmt's oder?? x = y² + 6y + 9 --> dann vertauscht -y² - 6y = -x + 9 --> hier hab ich die 6y mit auf die linke Seite genommen Bin grad total verwirrt... 
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| 06.07.2011, 13:50 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Durchaus richtig, aber viel zu kompliziert. Du musst nun die pq-Formel anwenden. (also den rechten Teil nach links und beides als q auffassen!
)Mit meiner Variante tust du dir da leichter...du musst nur wissen
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| 06.07.2011, 13:52 | Meisel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Umkehrfunktionen sind doof 
wie wär's damit: y = -2(x-1)² y = -2x² + 4 x = -2y² + 4 2y² = -x + 4 /:2 y² = -1/2x + 2 y = +/- Wurzel -1/2x +2
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| 06.07.2011, 13:53 | Meisel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aaaaaaa!!! P-Q Formel! Warum bin ich nicht gleich drauf gekommen?? 
So muss rechnen, bis gleich
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| 06.07.2011, 14:02 | Meisel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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neee komm nicht drauf Hab's mit p-q formel gerechnet, aber am Ende komt nur die -3 raus und so viel ich weiß berechnet man mit P-Q Formel die NS an der x-Achse... mmh... wenn ich vorher Wurzel ziehen würde, dann sähe das bei mir so aus: y = (x+3)² y = +/- Wurzel x² + 6x + 9 aber so wie's aussieht auch falsch... stehe echt grade auf der Leitung |
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| 06.07.2011, 14:07 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Anmerkung: Quadratische Funktionen sind nicht global umkehrbar. |
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| 06.07.2011, 14:12 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei deinem ersten Post würde die binomische Formel fehlen. Ich würde sie aber weder beim zweiten noch beim dritten Anwenden, sondern direkt die Wurzel ziehen. Darauf wollte ich später noch hinaus. Was gelten darf und was nicht
Machst du aber direkt weiter, lgrizu? Muss weg.
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| 06.07.2011, 14:14 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Equester: Kann ich tun, aber erst mal ist sowieso der Fragesteller wieder dran. |
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| 06.07.2011, 14:23 | Meisel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na, wenn ich doch von vorne herein schon die Wurzel ziehen und die BiFo weglassen kann, dann eben so: y = (x+3)² y = +/- Wurzel (x+3)²
i-wie werd ich heute nicht mehr fertig
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| 06.07.2011, 14:31 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast lediglich auf einer Seite der Gleichung die Wurzel gezogen, es sollte dort stehen: . |
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| 08.07.2011, 15:04 | Meisel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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Hi! Bin mal wieder hier... und hat gleich mal ne Frage
Warum ziehe ich denn am Anfang schon die Wurzel??
Aah... eine Aufgabe fehlt mir noch... die ist mir fast verloren gegangen... y = -2(x-1)² -2/y = +/- Wurzel (x-1)² Bei der Lösung hab ich mich an der vorherigen Aufgabe orientiert... wobei mir das Rätsel mit der Wurzel immer noch unklar ist 
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| 08.07.2011, 16:16 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du solltest die Wurzel ziehen, damit du die Gleichung nach x umstellen kannst, ansonsten wird das schwer möglich. Bei deiner Aufgabe ist dir mehr als nur ein Fehler unterlaufen, mach das einmal Schritt für Schritt, wir haben: , nun zuerst durch -2 dividieren, ergibt dann was? |
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| 08.07.2011, 16:35 | Meisel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay... Schritt für Schritt ... y = -2(x-1)² y/-2 = (x-1)² stimmt's? |
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| 08.07.2011, 17:45 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jap, stimmt, wie geht es weiter? |
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| 08.07.2011, 17:50 | Meisel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Würde meinen, dass wir x und y vertauschen müssen? Dann sähe es so aus: x/-2 = (y-1)² wieder richtig? |
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| 08.07.2011, 18:38 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jap, kann man machen, kann man sich aber auch bis zum Schluss aufheben und erst mal nach x umstellen. Und nun? |
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| 09.07.2011, 16:47 | Meisel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja... x/-2 = (y-1)² -(y-1)² = -x/-2 (y-1)² = x/-2 (y-1)= Wurzel x/-2 Wenn das richtig ist, mach ich nen Handstand
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| 09.07.2011, 17:26 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist richtig, aber du bist noch nicht ganz fertig, y muss alleine stehen, welche Äquivalenzumformung fehlt also noch? |
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| 09.07.2011, 19:20 | Meisel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mmh... (y-1)= Wurzel x/-2 y = 1 Wurzel x/-2
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| 09.07.2011, 19:25 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir haben: . Welche Äquivalenzumformung muss noch gemacht werden, damit y alleine steht?
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| 09.07.2011, 20:50 | Meisel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
y = 1 + Wurzel x/-2 da hat das + gefehlt... aber jetzt isses richtig
oder??das war ein recht schwere Geburt
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| 10.07.2011, 21:30 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jap, nun ist richtig. Ich möchte noch einmal betonen, dass quadratiche Funktionen nicht global umkehrbar sind, da die Gleichung zwei Lösungen besitzt, nämlich . |
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| 10.07.2011, 23:27 | Meisel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen herzlichen Dank für die Hilfe! 
Endlich kann ich auch die restlichen Aufgaben der Umkehrfunktion selbstständig lösen
Echt klasse eure Nachhilfe!
und bis zum nächsten mal
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