Doppelintegrale und Kurvenintegral - Mathe für Chemiker

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gluehbirne87 Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelintegrale und Kurvenintegral - Mathe für Chemiker
Meine Frage:
Hallo!

Ich hoffe ihr könnt mir bei folgender Mathe-Klausuraufgabe helfen! Ich sitz schon nen Weilchen dran, aber so recht komm ich nicht weiter!

Die Kurve C, die durch die Gleichung beschrieben wird, begrenzt den Bereich G der x,y-Ebene

a) Berechnen Sie

b) Prüfen Sie, ob das folgende Integral wegunabhängig ist und berechnen Sie

c) Welchen vektoranalytischen Zusammenhang gibt es zwischen den beiden Integralen? Wie hängt K von F formelmäßig ab?



Meine Ideen:

Zu meinen Lösungsansätzen:
Bei a) würd ich erstmal in Zylinderkoordinaten umwandeln. Aber dann? Muss ich die Funktionaldeterminante berücksichtigen? Und ich integriere dann x+y = also cos phi + 2sin phi?

b) also bei mir ist das wegabhängig, oder irre ich mich?

c) ?

Vielen Dank für eure Hilfe!
Grüße
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe dreht sich um den Integralsatz von Stokes.
Ich würde in kartesischen Koordinaten bleiben.
Das Integral ist wegunabhängig , wenn das Vektorfeld wirbelfrei ist.
Vielleicht bringen dich diese Tipps schon weiter.
 
 
gluehbirne87 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ohja, da hab ich mich durch die Transformation vielleicht etwas verrannt! Ich versuch mal mein Glück mit deinen Tipps! Vielen Dank schon mal!

Grüße
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lampe16
Das Integral ist wegunabhängig , wenn das Vektorfeld wirbelfrei ist.

Dies gilt übrigens nur, wenn die Definitionsmenge des Vektorfelds offen und einfach zusammenhängend ist.

MfG
gluehbirne Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,

also irgendwie bekomme ich jetz ne Lösung raus, aber ich weiß nicht... 36/15 für a) und für b) 16 ???

und c) versteh ich als Chemiker immer noch nicht! Selbst mit Tipp ;-)

Grüße
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Fragen a), b), c) in umgekehrter Reihenfolge c), b), a) beantworten. (Dabei muss man nichts berechnen, sondern nur einige Schlüsse ziehen):

c) Es gilt der Satz von Green (alternative Bezeichnung: Gaußscher Satz in der Ebene):



b) Das Integral in b) ist wegunabhängig. Das Kriterium dafür ist das Verschwinden der Rotation des Vektorfeldes im Integranden, also . (Prüfe das kurz nach!) Daraus folgt, dass jedes geschlossene Kurvenintegral für das ebene Vektorfeld verschwindet. Das Integral in b) verschwindet also, wenn der Integrationsweg geschlossen ist.

a) Mit dem Satz von Green aus c) kann man dein Flächenintegral aus a) in ein Kurvenintegral umformen, dessen Integrand genau dem Vektorfeld aus b) entspricht (bis auf einen konstanten Faktor). Also verschwindet auch dieses Flächenintegral. Das Gebiet ist übrigens eine Ellipse mit den Halbachsen a=1 und b=2.
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ehos
b) Das Integral in b) ist wegunabhängig. Das Kriterium dafür ist das Verschwinden der Rotation des Vektorfeldes im Integranden, also . (Prüfe das kurz nach!)


Ich komme auf
Danach wäre das Integral wegabhängig.
gluehbirne Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank für die hilfreiche Diskussion!

Das mit der Ellipse ist klar, der Gausssche Integralsatz war mir bisher unbekannt - danke für die Hilfe dahingehend!

Ich stimmt Lampe16 zu, bei mir ist das auch wegabhängig!

Grüße
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Lampe16
Ja, du hast recht. Die Rotation verschwindet nicht, womit das Integral wegabhängig ist. Ich habe die Rotation falsch berechnet. Danke für den Hinweis.
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fasse mal zusammen.



Mit gilt hier



Mit dem Satz von Stokes



gilt hier

gluehbirne87 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nocheinmal,

ich habe das ganze noch einmal nachvollzogen - Wenn ich F berechne komme ich auf 2 (auf zwei verschiedenen Lösungswegen, da bin ich also echt sicher)

Allerdings ist bei mir das Kurvenintegral immer = 0 - K müsste aber ja eigentlich 4 sein.
Findet jemand meinen Fehler??

Grüße

PS: Anbei meine Berechnung
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Bequemlichkeitshalber poste ich den Mathlab-Code, mit dem ich F=K=0 ausgerechnet hatte.

syms x y phi
g=2*sqrt(1-x^2)
I1=int(x+y,y,-g,g)
F=int(I1,x,-1,1)
x=cos(phi)
y=2*sin(phi)
K=int(x^2*2*cos(phi)+y^2*sin(phi),phi,0,2*pi)

Dann ist der Fehlersuch-Ball wieder in deinem Feld.
gluehbirne87 Auf diesen Beitrag antworten »

Habs gefunden!!! So ein doofer Fehler bei der Berechnung des Integrals... Integral 0 war bei mir nicht 0... manchmal steht man aber auch auf dem Schlauch!
Vielen Dank für die Hilfe! Problem gelöst!
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