Äquivalenzrelation: Matrizen A,B ähnlich

04.07.2011, 14:45

Simooon

Äquivalenzrelation: Matrizen A,B ähnlich

Also die Aufgabe lautet:

Sei M die Menge der $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ Matrizen über einem Körper K

Entscheiden Sie, ob die folgende Relation eine Äquivalenzrelation ist

$\begin{eqnarray*} A\sim B\Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ A und B sind ähnlich
A,B ähnlich $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\exists S\in GL\left(n,K\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} S^{-1}AS=B \end{eqnarray*}$

Ich muss also die 3 Eigenschaften nachprüfen:

Reflexivität $\begin{eqnarray*} A\sim A \end{eqnarray*}$

Klar, dass A zu sich selbst ähnlich ist (Wähle $\begin{eqnarray*} S=E_{n} \end{eqnarray*}$ )

Symmetrie: $\begin{eqnarray*} A\sim B\Rightarrow B\sim A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S^{-1}AS=B\Rightarrow\left(SS^{-1}\right)A\left(SS^{-1}\right)=SBS^{-1}=T^{-1}BT mit T=S^{-1} \end{eqnarray*}$

Also aus A ähnlich B folgt B ähnlich A

Transitivität: $\begin{eqnarray*} A\sim B,B\sim C\Rightarrow A\sim C \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} S^{-1}AS=B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T^{-1}BT=C \end{eqnarray*}$ . Dann folgt

$\begin{eqnarray*} T^{-1}BT=C\Rightarrow T^{-1}S^{-1}AST=C\Rightarrow\left(ST\right)^{-1}A\left(ST\right)=C\Rightarrow U^{-1}AU=C mit U=ST \end{eqnarray*}$

Kann man das schon so stehen lassen?
Ist ne Aufgabe aus meiner Probeklausur, nur bin ich jetzt doch ein bissl überrascht darüber, dass die so fix von der Hand geht.

04.07.2011, 14:50

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ist ne Aufgabe aus meiner Probeklausur, nur bin ich jetzt doch ein bissl überrascht darüber, dass die so fix von der Hand geht.

Alles richtig. Du kannst ja nicht erwarten in einer Klausur Aufgaben zu bekommen, die man stundenlang Anstarren muss bis einem der Lösungsweg einfällt Augenzwinkern

04.07.2011, 14:56

Simooon

Auf diesen Beitrag antworten »

ja klar schon, aber es war ja echt mit hinschreiben der Definition schon quasi 70% gelöst Big Laugh

Daher dachte ich, dass ich mal das schlaue Internet befrage.
Hoffentlich bleibt das Niveau auch in der echten Klausur so

Danke fürs drüberschauen

Neue Frage »

Antworten »

Äquivalenzrelation: Matrizen A,B ähnlich

Verwandte Themen