Funktionsgleichung erstellen und Extrema ermitteln |
| 04.07.2011, 16:08 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Funktionsgleichung erstellen und Extrema ermitteln Mahlzeit! Ich muss Donnerstag in eine mündliche Matheprüfung, da ich durch die schriftliche gefallen. Zum lernen wollte ich eine Aufgabe aus der Prüfung verwenden, an die ich mich noch erinnern kann und zwar: Randy Barnes stellte 1990 einen Weltrekord im Kugelstoßen auf. Er ließ die Kugel in einer ungefähren Höhe von 2 Metern los und sie flog mit einem Steigungswinkel von 38° 23,12 Meter weit. Ich soll nun die passende Funktionsgleichung aufstellen, rausfinden, wie hoch die Kugel geflogen ist und in welchem Winkel sie im Boden eingeschlagen ist... Meine Ideen: Da er ja nun die Kugel nicht in Schlangenlinien wirft, ist es klar, dass es sich um einen Graphen zweiter Ordnung handelt und das die Grundfunktion: handelt. Das war es aber auch schon mit meinem Latein. Wenn mir da jemand eine einfache erklärung bieten könnte, wäre ich dieser Person zum tiefsten Dank verpflichtet.... |
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| 04.07.2011, 16:35 | Emmerton | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Funktionsgleichung erstellen und Extrema ermitteln Ja, in dieser Form sollte die Gleichung später erscheinen. Du musst also a, b und c finden. Bei drei Unbekannten brauchst du 3 Bedingungen für eine eindeutige Lösung. Welche drei Bedingungen hast du? |
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| 04.07.2011, 17:17 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Daran kann ich mich leider nicht mehr so ganz erinnern. Ich meine, es war auch nicht mehr allzu viel gegeben. Der Graph selber wurde in der Aufgabe noch mit den gegebenen Größen dargestellt... |
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| 04.07.2011, 17:31 | Emmerton | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Bedingungen stehen im Text. Lies nach. |
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| 04.07.2011, 17:36 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das war eine Fachabi-Prüfung. Da ist nicht viel nachzulesen, weil ich die Prüfung nicht mehr habe. Wie gesagt, ich kann mich halt nur noch an die Aufgabenstellung erinnern und ich glaube nicht, dass da Bedingungen waren, falls doch, dann kann ich mich daran nicht mehr erinnern. Wenn man die nicht anders lösen kann, dann muss ich's wohl vergessen. 
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| 04.07.2011, 17:38 | Emmerton | Auf diesen Beitrag antworten » |
In dem Text, den du zuerst gepostet hast, stehen die drei Bedingungen. Mehr brauchst du nicht. Eine Bedingung kann zB. ein gegebener Punkt sein... |
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| 04.07.2011, 17:51 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
AAAAACHSOOOO! Ja tut mir leid, ich bin Spätzündern. Ich denke, die Bedingungen sind Abwurfhöhe: 2m, Abwurfwinkel: 38° und Wurfweite 23,12m. |
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| 04.07.2011, 17:54 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Punkte wären dann p1=(0/2) und p2=(23,12/0) wenn ich mich nicht recht irre. Auf den dritten Punkt komme ich nicht... |
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| 04.07.2011, 18:05 | Emmerton | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die beiden Punkte sind schon mal richtig. Die 38° werden etwas schwieriger zu verarbeiten. Der Abstoßwinkel ist der Winkel, den die Tangente an den Graphen im Punkt (0 l 2) hat. Wie könnte man diesen bei einer schon gegeben Funktion berechnen? (Das brauchst du, da wir den Rechenweg dann rückwärts gehen müssen.) |
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| 04.07.2011, 18:16 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kann man nicht nun durch eine Winkelfunktion weiterrechnen? Ich wüsste jetzt sonst nicht weiter... |
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| 04.07.2011, 18:28 | Emmerton | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, man braucht eine Winkelfunktion, welche übrigens? Nochmal zurück: Wenn du zB die Funktion f(x) = -3x² + 5x + 2 gegeben hast, wie kannst du dann den Winkel der Tangente im Punkt (0 l 2) berechnen? Such in der Formelsammlung oder im Netz unter Tangente an den Graphen. |
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| 04.07.2011, 18:40 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die erste Frage würde ich mit Tangens beantworten, auf die zweite Frage finde ich keine Antwort... |
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| 04.07.2011, 18:51 | Emmerton | Auf diesen Beitrag antworten » |
Tangens ist richtig. Die Tangente an den Graphen hat einen bestimmten Anstieg. Bei linearen Funktionen y = m*x + c ist dies der Wert von m. Dieser Wert m gibt die momentane Änderungsrate an. Um den Wert aus einer gegebenen Funktion zu berechnen, braucht man die erste Ableitung der Funktion. Mach das mal für die allgemeine Form: f(x) = a*x² + b*x + c Wenn du Schwierigkeiten mit den Variablen a, b, c hast, mach es zuerst für eine konkrete Funktion und übertrage dann deine Vorgehensweise auf die allgemeine. |
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| 04.07.2011, 18:59 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die erste Ableitung wäre dann ja: oder? |
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| 04.07.2011, 19:09 | Emmerton | Auf diesen Beitrag antworten » |
:o) Jetzt haben wir die 3 notwendigen Bedingungen. f(x) = a*x² + b*x + c f'(x) = 2a*x + b 1) f(0) = 2 aus Punkt (0 l 2) 2) f'(0) = tan(38°) 3) f(23,12) = 0 aus Punkt (23,12 l 0) Wenn du das jetzt geschickt nutz, bekommst du nacheinander alle drei Variablen heraus. Die Zahlen sind im Ergebnis "krumm". Du wirst wohl ums Runden nicht herumkommen. Verwende so viele Dezimalen, wie dein Mathelehrer üblicherweise verlangt. |
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| 04.07.2011, 19:35 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also: |
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| 04.07.2011, 19:44 | Emmerton | Auf diesen Beitrag antworten » |
nicht ganz Arbeite der Reihe nach ab. Was ergibt sich aus f(0) = 2 ? |
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| 04.07.2011, 19:54 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich bin grad irgendwie durcheinander und hab deswegen grade nicht so den Durchblick --->Tut mir leid, ich habe grade keine Ahnung... |
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| 04.07.2011, 19:55 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich würde jetzt sagen 2. |
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| 04.07.2011, 20:01 | Emmerton | Auf diesen Beitrag antworten » |
allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c Wir wissen aus Punkt (0 l 2), dass f(0) = 2 ist. f(0) = .... = 2 Damit bekommst du die erste Variable heraus. ------------------------------------ Fülle die Punkte mit der passenden Rechnung aus. |
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| 04.07.2011, 20:12 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also immer jeweils die Punkte in die Gleichung einsetzen? |
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| 04.07.2011, 20:15 | Emmerton | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gemeint sind die Punkte zwischen f(0) und 2 f(0) = ... = 2 Welche Variable ergibt sich? |
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| 04.07.2011, 20:25 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe keine Ahnung... -.- |
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| 04.07.2011, 20:30 | Emmerton | Auf diesen Beitrag antworten » |
f(x) = ax² + bx + c f(0) = a*0² + b*0 + c = 2 f(0) = 0 + 0 + c = 2 also ist c=2 jetzt haben wir f(x) = ax² +bx + 2 ------------------------------------------------ Jetzt mit der 2.Gleichung weitermachen f'(x) = ... f'(0) = ... = tan(38°) wieder erst die allgemeine Form notieren und dann 0 für x einsetzen Was ergibt sich jetzt? |
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| 04.07.2011, 20:54 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
f'(x)=2ax+b tan(38°)=0+b tan(38°)=b |
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| 04.07.2011, 21:05 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
f''(x)=2a 0=2a a=2 |
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| 04.07.2011, 21:18 | Emmerton | Auf diesen Beitrag antworten » |
b ist richtig, evtl musst du noch den Wert mit 2-4 Dezimalen angeben bei a musst du schon bissl mehr tun Wir haben jetzt f(x) = ax² + tan(38°) * x + 2 aus 3) f(23,12) = 0 f(23,12) = ... = 0 Damit lässt sich nun a berechnen. |
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| 04.07.2011, 21:23 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Achso ja, da hab ich mich verguckt. Ich habe jetzt hier f"(23,13)=2a 23,13=2a a=11,56 |
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| 04.07.2011, 21:24 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also ist so dann die Hauptfunktion: |
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| 04.07.2011, 21:36 | Emmerton | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die zweite Ableitung brauchst du nicht. Stattdessen den Punkt (23,12 l 0) verwenden und in f(x) korrekt einsetzen. f(23,12) = a*23,12² + tan(38°)*23,12 + 2 = 0 Damit kannst du a bestimmen. (... und es ist nicht 2) |
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| 04.07.2011, 21:47 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
| 04.07.2011, 21:59 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja gut, habe grade einen Schreibfehler entdeckt: heißt natürlich "+tan(38°)*23,12+2" |
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| 04.07.2011, 22:07 | Emmerton | Auf diesen Beitrag antworten » |
:o) Ich würde a wahrscheinlich etwas genauer angeben, aber ich weiß nicht, was euer Mathelehrer verlangt. Mit a hast du nun die komplette Funktionsgleichung. Mit einem Funktionsplotter kannst du sie zeichnen. Bei mir hat es ziemlich gut gepasst. Der b) Teil müsste dir jetzt auch klar sein, hast du ja schon bei a) gebraucht. 
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| 04.07.2011, 22:25 | T.echniker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jo richtig geil! Recht herzlich Dank! Ich glaube ich hab es sogar halbwegs kapiert. Auf jedenfall wurd es mir jetzt besser erklärt als von meinem Mathelehrer... 
Wenn ich doch noch Fragen haben sollte, schreibe ich hier noch mal rein. 
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| 04.07.2011, 22:33 | Emmerton | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gerne 
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| 04.07.2011, 22:48 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Achtung, Vorzeichenfehler bei der 2: |
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| 05.07.2011, 07:11 | Emmerton | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ups, hab ich gestern übersehen. Hat er aber richtig gerechnet, sonst wär etwas andres rausgekommen. Trotzdem wollen wir saubere Aufschriebe :o) |
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