Dualraum : Raum von Funktionen oder Raum von Folgen?

04.07.2011, 17:18

moof

Dualraum : Raum von Funktionen oder Raum von Folgen?

Meine Frage:
Hallo,

ist ein Dualraum nicht die Menge aller Funktionen, die meinen Raum X nach IK(reele oder komplexe Zahlen) abbilden? Denn als Dualraum wird immer ein Folgenraum o.Ä. angegeben.

Meine Ideen:
Meine Idee dazu ist, dass der Dualraum als Skalarprodukt eines Elementes meines Raumes X mit einem Element aus dem erwähnten Folgenraum ist.
Also: Banachraum1: X, Banachraum2: Y. X' ist dann Menge aller Funktionale die x element X als Argument bekommen mit der Vorschrift f(x)=<x,y>, y element Y.

Was ist nun der Dualraum: Folgenraum Y oder Raum der Funktionen f(x)?

04.07.2011, 18:51

Felix

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Zitat:

Also: Banachraum1: X, Banachraum2: Y. X' ist dann Menge aller Funktionale die x element X als Argument bekommen mit der Vorschrift f(x)=<x,y>, y element Y.

Du betrachtest hier ein Skalarprodukt zwischen 2 Elementen die aus verschiedenen Banachräumen kommen. Das ergiebt aus zwei Gründen keinen Sinn:

1) Ein Skalarprodukt ist per Definition immer nur auf einem Raum definiert (also eine Abbildung $\begin{eqnarray*} X \times X \to \mathbb K \end{eqnarray*}$ ).

2) Auf Banachenräumen ist im Allgemeinen kein Sp definiert, es sei denn sie sind Hilberträume.

So nun versuche ich dir eine Anwort auf deine Frage (die ich leider nicht ganz verstehe), zu geben:

Der Dualraum (eines topologischen Vektorraums) ist per Definition der Raum der stetigen linearen Funktionale (in den Skalarkörper).

Im Spezialfall eines Hilbertraums $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ hat man jedoch noch zusätzliche Struktur. Zum einen gibt es eine konjugiert-lineare isometrische Bijektion zwischen $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H' \end{eqnarray*}$ . Zum anderen ist jeder Hilbertraum isometrisch isomorph zu einem $\begin{eqnarray*} l_2(A) \end{eqnarray*}$ wobei dass die Menge der quadratsummierbaren Folgen über einer geeigneten Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist.
Man kann in diesem Fall den Dualraum also mit einem Folgenraum identifizieren ...

05.07.2011, 23:03

moof

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Hallo,

danke für die Antwort.
Ja, ich weiß, dass mann kein Skalarprodukt auf nicht-hilberträumen definieren kann. Aber man kann eine Verknüpfung zwischen zwei Folgen die z.B. aus c0 und l1 stammen definieren, die so aussieht wie ein Skalarprodukt (Summe von x_n*y_n). Bei Wikipedia ist das unter Dualität angegeben (Wikipedia, Dualraum).
Bei Wikipedia kann man besser verstehen, was mein Problem ist: Der Dualraum sind doch Funktionale, also Funktionen, in die ich ein Element reinschmeiße und hinterher ein Skalar rausfällt. Allerdings ist doch der Dualraum von c0 (also l1) ein Folgenraum. Wie kann ein Folgenraum ein Raum von Funktionalen sein?

Soweit ich jetzt deine Antwort verstehe kann man den Dualraum (die Funktionale) mit einem Folgenraum identifizieren. Dazu muss der isomorph und isometrisch sein(zum Dualraum). Ist das richtig? Falls ja verstehe ich trotzdem nicht, wie das geht...

Also nochmal: Wie kann ein Raum von Funktionalen auch ein Raum von Folgen sein?

HAb ich mich jetzt besser ausgedrückt?

Vielen Dank für die Mühe

06.07.2011, 09:55

Felix

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Zitat:

Also nochmal: Wie kann ein Raum von Funktionalen auch ein Raum von Folgen sein?

Das geht wohl immer nur über Isopmorphie.

Um auf das Wikipediabeispiel mit C0 und l1 einzugehen: Hier hat man keinen Hilbertraum, man kann den Dualraum jedoch trotzdem vermöge $\begin{eqnarray*} \Phi : l1 \to c0' , (a_n)_{n \in \mathbb N} \to (. , (a_n)_{n \in \mathbb N} ) \end{eqnarray*}$ wobei (.,.) das Standartskalarprodukt bezeichnet, mit dem Raum der summierberen Folgen l1 identifizieren (was man gegebenfalls natürlich noch nachprüfen muss, das hier ist kein Beweis).

06.07.2011, 10:31

chrizke

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Zitat:

Original von moof
Ja, ich weiß, dass mann kein Skalarprodukt auf nicht-hilberträumen definieren kann.

Das ist so nicht richtig. Es gibt auch Skalarprodukte auf Räumen, die keine Hilberträume sind.
Denn ein Hilbertraum ist ja dadurch definiert, dass er bzgl. der durch ein Skalarprodukt induzierten Norm vollständig ist.
D.h. muss es erstmal ein Skalarprodukt geben, bevor man sich über Hilberträume unterhalten kann.

Einen Raum auf dem ein Skalarprodukt definiert ist (egal ob er bzgl. der Norm vollst. ist) heißt Euklidischer- oder Prä-Hilbert-Raum.

Zu deinem Problem mit dem Dualraum. Die Definition wurde dir ja schon gegeben. Der Raum aller linear stetigen Funktionale die von einem Vektorraum in den zu Grunde liegenden Körper abbilden.

Ich hab mir das Bsp. jetzt nicht näher bei Wikipedia angeschaut, aber das sieht für mich sehr nach dem Riesz'schen Darstellungssatz aus. Den solltest du dir aber erst anschauen, wenn du den Dualraum verstanden hast, sonst bekommst du höchstwahrscheinlich einen Knoten im Hirn Augenzwinkern

06.07.2011, 11:23

moof

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Danke für die Antworten,

ok, ja ich hatte mir da nicht so Mühe gegeben, mich Matehmatisch exakt auszudrücken. Also, ein Prähilbertraum ist ein Raum auf dem die Struktur "Skalarprodukt" definiert ist und das Skalarprodukt induziert eine Norm. Wenn dieser Raum bezüglich dieser Norm vollständig ist, ist es ein Hilbertraum. Allerdings kann ein Skalarprodukt immer definiert werden, egal auf welchem Raum, jedech ist dieser dann nicht notwendig ein Hilbertraum. Das stimmt jetzt so, ne?

So, ich hab jetzt das Gefühl, der Sache twas näher zu kommen: Also ich kann einen Raum von Funktionalen mit einem Raum von Folgen identifizeren, indem ich Isometrie und Isomorphie nachweise, ja? Im "Heuser" steht, dass dann die Elemente des Raumes nicht mehr unterscheiden kann außer durch ihren Namen. D.h. die Elemente der l1 Folgen sind bis auf hren Namen identisch wie die Elemente des Dualraumes von c0.
Habe ich das bis hierhin richtig verstanden?

Falls ja, verstehe ich nicht wieso Funktionale ein Argument bekommen können, Folgen hingegen nicht. Wie ist dieser scheinbare Wiederspruch zu verstehen?

Danke

07.07.2011, 10:14

Felix

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Zitat:

D.h. die Elemente der l1 Folgen sind bis auf hren Namen identisch wie die Elemente des Dualraumes von c0.

Bezüglich der in diesem Fall betrachteten Strukturen - ja.

Zitat:

Falls ja, verstehe ich nicht wieso Funktionale ein Argument bekommen können, Folgen hingegen nicht. Wie ist dieser scheinbare Wiederspruch zu verstehen?

Naja mit der Abbildung die ich dir hingschrieben hab in meinem letzten Beitrag kannst du sie ja als Abbildungen auffassen ihnen also "ein Argument geben".

09.07.2011, 16:50

moof

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ok, vielen Dank.

Jetzt ist mir fast alles klar. Danke für die große Hilfe.

Fast sage ich, da ich noch nicht ganz verstehe dass man einfach eine Funktion definieren kann und dann ist meine l1 Folge quasi ein Funktional aus (c0)'. Aber ich denke das hat etwas mit der Isomorphie zu tun und ich muss mich da mal etwas besser mit befassen, richtig?. Ich bin nämlich E Techniker und bin nicht so richtig fit deep down in analysis. Aber nochmal danke.

Wink

09.07.2011, 17:12

chrizke

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Also nochmal zu diesem Funktional, welches dir wohl einfach keine Ruhe zu lassen scheint Augenzwinkern

Nehmen wir mal eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_n \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathit{l}^1 \end{eqnarray*}$ . Für diese gilt ja per Definition: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^\infty|x_n|<\infty \end{eqnarray*}$ .

So nun schauen wir mal, wie wir damit eine Funktion des Dualraums hinbekommen.

Gesucht ist nun $\begin{eqnarray*} F:\mathit{l}^1\rightarrow (c_0)' \end{eqnarray*}$

So wie Felix oben schon geschrieben hat, kann man dieses Funktion nun wie folgt darstellen:

$\begin{eqnarray*} F:\mathit{l}^1\rightarrow (c_0)',\quad (x_n)_n \mapsto \left((x_n)_n ,\cdot \right) \end{eqnarray*}$

Was bedeutet das nun?

$\begin{eqnarray*} \left((x_n)_n ,\cdot \right) \end{eqnarray*}$

ist das Skalarprodukt. Der Punkt bedeutet, dass da noch ein entsprechendes Element eingesetzt werden muss.

Das Skalarprodukt ist also hier wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} \left((x_n)_n ,\cdot \right) := \sum\limits_{i=1}^{\infty}x_i \cdot \end{eqnarray*}$ also zB: $\begin{eqnarray*} \left((x_n)_n ,(y_n)_n \right) := \sum\limits_{i=1}^{\infty}x_i y_i \end{eqnarray*}$

Und wenn wir nun für den Punkt ein Element aus $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ einsetzen, sehen wir, dass das Bild von dieser Summe in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegt. Die Konvergenz davon sichert uns die Eigenschaft des $\begin{eqnarray*} \mathit{l}^1 \end{eqnarray*}$ Elements, die ich oben schon angegeben habe. Daraus folgt auch Linearität und Stetigkeit. Somit ist diese Funktion Element des Dualraums $\begin{eqnarray*} (c_0)' \end{eqnarray*}$

Die Isomorphie kann man dann natürlich auch zeigen.
Und daraus folgt dann, dass du mit jedem Element aus dem Folgenraum ein Element aus dem Dualraum erzeugen kannst.

09.07.2011, 23:34

moof

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Ok, im Prinzip hatte ich das schon so verstanden. Danke, dass du das nochmal so klar gegliedert aufgeschrieben hast.
Es ist mir also klar, dass ich mir mit meiner l1 Folge und meinem Skalarprodukt ein Funktional bauen kann, das in (c0)' liegt.

Zitat: Somit ist diese Funktion Element des Dualraums $\begin{eqnarray*} (c_0)' \end{eqnarray*}$

D.h. diese so gebaute Funktion ist element des Dualraumes. D.h aber auch, dass diese Funktion nicht aus l1 ist, sondern über eine Abbildung von l1 nach diesem Raum entstanden ist. (ich bilde also eine l1 Folge auf eine Funktion, das besagte Funktional, ab.) Wie kann dann die l1 Folge gleich meines Funktionals sein, sie ist ja nur über eine Abbildung mit meinem Funktional verknüpft. Das klingt für mich so, als würde ich z.B. die Zahl 5 abbilden nach 5x und dann wäre 5x das gleiche wie 5. Aber 5x ist je nach x verschieden. Ich weiß leider nicht, wie ich mein Problem besser darstellen kann. Swoeit ich das verstehe wird der l1 Raum mit (c0)' identifiziert, also, im Übertragenen Sinne meine 5 mit meiner Funktion 5x identifiziert, unterscheidet sich also nicht voneinander außer im Namen. Wird das gemacht?

Alles Gute und danke für die Geduld. BIn ich ein arg schwieriger Fall?...

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