Kovarianz bei Würfelexperiment

16.12.2006, 18:03	Toxman	Auf diesen Beitrag antworten »
Kovarianz bei Würfelexperiment Es geht bei dieser Aufgabe um ein Würfelexperiment mit zwei Würfeln. Gefragt ist nach der Kovarianz zwischen der Augenzahl eines Würfels (A) und der Summe (S) der beiden Augenzahlen. Für die Kovarianz braucht ich erst mal den Erwartungswert des Produktes. Da wollte ich das hier machen: $\begin{eqnarray} E(AS)=\sum_{i=1}^6\sum_{j=1}^6\frac{1}{36}i(i+j) \end{eqnarray}$ . Davon muss ich jetzt noch das Produkt der Erwartungswerte für A und S abziehen, wobei E(A)=3,5 und E(S)=7, wobei E(S) mit matlab ermittelt wurde, weil mir da nichts gutes eingefallen ist. Damit liegt dann die Kovarianz bei 2,92. Diese ist positiv, was sie auch sein sollte, da eine hohe Augenzahl im betrachteten Würfel auch tendenziell auf eine hohe Summe weist. Jetzt fehlt noch der Korrelationskoeffizient. Für den brauche ich noch die Varianzen von A und S. Also Var(A)=E(A^2)-(E(A))^2. E(A^2) sollte dann $\begin{eqnarray} E(A^2)=\sum_{i=2}^6 \frac{1}{6}i^2 \end{eqnarray}$ sein. Für die Wahrscheinlichkeiten in der Berechnung der Varianz habe ich dann ein Ergebniss aus matlab benutzt, nämlich, dass P(S=k)=(6-\|7-k\|)/36. Das sollte stimmen, beweisen kann ich es erst mal nicht. Für die Varianz habe ich dann k^2*P(S=k) von 2 bis 12 summiert und davon wieder E(S)^2=7^2 abgezogen. Insgesamt komme ich dann auf einen Koeffizienten von 0.708 Leider bin ich bei den Berechungen der Varianzen noch nicht ganz sicher, so dass ich euch bitte, mal darüber zu schauen.
16.12.2006, 18:36	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst es dir erheblich einfacher machen, wenn du zwei Sachen nutzt: (1) die Bilinearität der Kovarianz (2) die Kovarianz zweier unabhängiger Zufallsgrößen (mit existenter Varianz) ist gleich Null Im vorliegenden Fall seien $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ die beiden Augenzahlen und $\begin{eqnarray} S=A+B \end{eqnarray}$ deren Summe. Dann gilt $\begin{eqnarray} \operatorname{cov}(A,S) = \operatorname{cov}(A,A+B) \stackrel{(1)}{=} \operatorname{cov}(A,A) + \operatorname{cov}(A,B) \stackrel{(2)}{=} \operatorname{cov}(A,A) + 0 = \operatorname{var}(A) \end{eqnarray}$ . Und schließlich auch noch $\begin{eqnarray} \operatorname{var}(S) = \operatorname{var}(A+B) = \operatorname{cov}(A+B,A+B) \stackrel{(1)}{=} \operatorname{cov}(A,A) + 2\operatorname{cov}(A,B) + \operatorname{cov}(B,B)\stackrel{(2)}{=} \operatorname{var}(A) + \operatorname{var}(B) = 2\operatorname{var}(A) \end{eqnarray}$ , letztere Gleichheit folgt natürlich aus der identischen Verteilung von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ .

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