Jordan'sche NF und Basis berechnen

04.07.2011, 17:22

Simooon

Jordan'sche NF und Basis berechnen

Ich soll zu der Matrix $\begin{eqnarray*} A:=\left(\begin{array}{cccc} -2 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 2 & 1\\ 4 & 1 & 0 & 3\end{array}\right) \end{eqnarray*}$ . Die zugehörige Jordan'sche Normalform und Jordanbasis bestimmenEs ist $\begin{eqnarray*} \chi_{A}(t)=\left(1+t\right)\left(2-t\right)^{3} \end{eqnarray*}$ das charakteristische Polynom.

Da $\begin{eqnarray*} \dim Eig\left(A,2\right)=1 \end{eqnarray*}$ (siehe unten) ist die Jordansche NF von A

$\begin{eqnarray*} JNF(A)=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ker\left(A+1E_{4}\right)=\ker\left(\begin{array}{cccc} -1 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 3 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 3 & 1\\ 4 & 1 & 0 & 4\end{array}\right)=\ker\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)=\langle\left(3,0,2,-3\right)\rangle \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B:=A-2E_{4}=\left(\begin{array}{cccc} -4 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 1\\ 4 & 1 & 0 & 1\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B^{2}=\left(\begin{array}{cccc} 12 & -5 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 0 & 0 & 2\\ -12 & 5 & 0 & -3\end{array}\right), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B^{3}=\left(\begin{array}{cccc} -36 & 15 & 0 & -9\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ -24 & 10 & 0 & -6\\ 36 & -10 & 0 & 9\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_{1}=\ker B=\langle\left(0,0,1,0\right)\rangle \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_{2}=\ker B^{2}=\langle\left(0,0,1,0\right),\left(1,0,0,-4\right)\rangle \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_{3}=\ker B^{3}=\langle\left(0,0,1,0\right),\left(1,0,0,-4\right),\left(0,3,0,5\right)\rangle \end{eqnarray*}$

Jordan Basis:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{4}=U_{3}\oplus W_{4}\Rightarrow W_{4}=\langle\left(0,1,0,0\right)\rangle \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{4}=U_{2}\oplus W_{3}\oplus W_{4}\Rightarrow W_{3}=\langle B\cdot\left(0,1,0,0\right)^{T}=\left(1,0,1,1\right)\rangle \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{4}=U_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}\oplus W_{4}\Rightarrow W_{2}=\langle B\cdot\left(1,0,1,1\right)^{T}=\left(-5,0,0,5\right)\rangle \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{4}=W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}\oplus W_{4}\Rightarrow W_{1}=\langle B\cdot\left(-5,0,0,5\right)^{T}=\left(15,0,10,-15\right)\rangle \end{eqnarray*}$

Also Jordanbasis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{4} \end{eqnarray*}$ zu A: $\begin{eqnarray*} \langle\left(15,0,10,-15\right),\left(-5,0,0,5\right),\left(1,0,1,1\right),\left(0,1,0,0\right)\rangle \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} T\cdot A\cdot T^{-1} \end{eqnarray*}$ berechne bekomme ich $\begin{eqnarray*} JNF(A)=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Die 1 in der 1. Zeile ist zuviel. Wo liegt mein Fehler? Ich mein der untere Jordanblock passt ja, das ist ja schonmal ok, also die Basisvektoren von $\begin{eqnarray*} W_{2},W_{3},W_{4} \end{eqnarray*}$ . Muss ich mit dem Basisvektor von $\begin{eqnarray*} W_{1} \end{eqnarray*}$ , der ja der EV zum EW -1 ist noch irgendwas machen? Bestimmt, aber was?

04.07.2011, 18:50

Cosinuspihalbe

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RE: Jordan'sche NF und Basis berechnen
soweit ich das sehe, ist die struktur korrekt. allerdings ist bei $\begin{eqnarray*} B^3 \end{eqnarray*}$ der Eintrag $\begin{eqnarray*} b_{42}=-15 \end{eqnarray*}$ .

04.07.2011, 20:30

Simooon

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RE: Jordan'sche NF und Basis berechnen

Zitat:

Original von Cosinuspihalbe
soweit ich das sehe, ist die struktur korrekt. allerdings ist bei $\begin{eqnarray*} B^3 \end{eqnarray*}$ der Eintrag $\begin{eqnarray*} b_{42}=-15 \end{eqnarray*}$ .

Jo, die Zahl hab ich nur falsch abgetippt von meinem Blatt.

Trotzdem ist doch die 1 bei $\begin{eqnarray*} JNF(A)_{1,2} \end{eqnarray*}$ falsch.
Ich bin halt ratlos, was ich damit machen soll. weil es ja nun so keine richtige Lösung ist. Aber ist schonmal beruhigend, dass ich das Schema richtig gemacht habe.

04.07.2011, 22:06

Reksilat

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RE: Jordan'sche NF und Basis berechnen
Kannst Du mal Dein Vorgehen etwas genauer erklären. (Link?)
Ich verstehe nämlich nicht, was Du da machst, bzw. kann nicht erkennen, wie man auf diese Weise eine Jordanbasis erhalten soll.
verwirrt

Gruß,
Reksilat.

05.07.2011, 15:00

Simooon

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RE: Jordan'sche NF und Basis berechnen

Zitat:

Original von Reksilat
Kannst Du mal Dein Vorgehen etwas genauer erklären. (Link?)
Ich verstehe nämlich nicht, was Du da machst, bzw. kann nicht erkennen, wie man auf diese Weise eine Jordanbasis erhalten soll.
verwirrt

Gruß,
Reksilat.

Ich auch nicht. In unserem Script steht die herangehensweise an solche aufgaben nicht böse

Und ich meine das nicht im Sinne von "ich verstehe das nicht, wie das da steht" sondern es ist buchstäblich nicht vorhanden...

Das ist ziemlicher Mist. Ich habe mittlerweile einen Blick in die Musterlösung der Aufgabe geworfen und anschließend im Vorlesungsscript geschaut, ob sowas da steht. Fehlanzeige.

Genug geärgert, bringt ja nix.

Ich fasse das mal so weit zusammen, wie es gelöst wird und es wäre echt gut, wenn mir jemand an bestimmten Punkten sagt könnte, warum man das so macht:

$\begin{eqnarray*} \chi_{A}\left(t\right)=(1+t)(2-t)^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Eig(A,-1)=\langle v_{4}=\left(-3,0,-2,3\right)\rangle \end{eqnarray*}$ Ein Vektor der Jordanbasis

$\begin{eqnarray*} Eig\left(A,2\right)=\langle\left(0,0,1,0\right)\rangle=\ker B=\ker\left(A-2E_{4}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ker B^{2}=\langle\left(0,0,1,0\right),\left(1,0,0,-4\right)\rangle \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ker B^{3}=\langle\left(0,0,1,0\right),\left(1,0,0,-4\right),\left(0,3,0,5\right)\rangle \end{eqnarray*}$

Wähle $\begin{eqnarray*} v_{3}\in\ker B^{3}\setminus\ker B^{2} \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} v_{3}=\left(0,3,0,5\right) \end{eqnarray*}$

(Ich weis nicht, warum man den so wählen muss)

Anschließend berechnet man

$\begin{eqnarray*} v_{2}=B\cdot v_{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_{1}=B\cdot v_{2} \end{eqnarray*}$
(Das wiederum haben wir in der Art, habe ich ja im 1. Post bei den Basen von W gemacht, aber das war ja augenscheinlich nicht richtig, weil ich mit dem falschen Vektor angefangen habe)

Dieses Schema kann man sich ja leicht merken, nur ist das ja ein Spezialfall. Das geht ja nur solange gut, solange die Dimensionen der Kerne immer nur um einen größer werden und der Kern von B die Dimension 1 hat

Bei einer anderen 4x4-Matrix mit dem char. Polynom $\begin{eqnarray*} \chi_{A}\left(t\right)=(2-t)^{4} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \dim\ker B=3 \end{eqnarray*}$ weis ich nicht wie ich damit verfahre.

05.07.2011, 18:08

Reksilat

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Das ist schon besser, denn dieses Vorgehen ist nicht aus der Luft gegriffen. smile

Man sieht auch sinnvoll die entstehende Struktur.
So ist $\begin{eqnarray*} v_2=Bv_3 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} v_2=(A-2E)v_3 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} Av_3=v_2+2v_3 \end{eqnarray*}$ . Das ist genau das, was auch die Struktur der Jordanmatrix beschreibt.
Analog ist $\begin{eqnarray*} Av_2=v_1+2v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Av_1=v_1 \end{eqnarray*}$ , da ja $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ im Kern von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ liegt.
( $\begin{eqnarray*} v_1=B^2v_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_3\in {\rm Ker}(B^3)\Rightarrow v_1\in {\rm Ker}(B) \end{eqnarray*}$ )
Bezüglich dieser drei Vektoren hat $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ genau die Gestalt des 3x3-Jordankästchens.

Dieses Vorgehen wiederholt man für jeden einzelnen Jordanblock.

Wenn Du also für die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit char. Polynom $\begin{eqnarray*} \chi(A)=(x-2)^5 \end{eqnarray*}$ einen Block der Größe 3x3 und einen zur Größe 2x2 hast, dann suchst Du Dir erst wie oben mit $\begin{eqnarray*} \{v_1,v_2,v_3\} \end{eqnarray*}$ die Basisvektoren der Jordanbasis, die zum ersten Block gehören. Anschließend suchst Du Dir $\begin{eqnarray*} v_5\in {\rm Ker}(B^2)\setminus \langle {\rm Ker}(B),v_1,v_2,v_3\rangle \end{eqnarray*}$ und setzt $\begin{eqnarray*} v_4:=Bv_5 \end{eqnarray*}$ . Das sind dann die Basisvektoren, die zum zweiten Jordanblock gehören.

Gruß,
Reksilat.

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