maximum und minimum einer funktion mit zwei unbekannten

04.07.2011, 18:05	melaniehot	Auf diesen Beitrag antworten »
maximum und minimum einer funktion mit zwei unbekannten Meine Frage: Hallo an alle, ich brauch bei der nächsten Aufgabe einfach die Richtung in der ich arbeiten soll. Sprich: was soll ich schritt für schritt tun, damit ich dem ergebnis nah komme=)? Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} g:[0,\pi]\times[0,\pi]->\mathbb R ,<br /> <br /> g(x,y):= sinx+siny+sin(x+y)<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} <br /> <br /> max\{g(x,y)\|(x,y)\in[0,\pi]\times[0,\pi]\} <br /> <br /> und <br /> <br /> min\{g(x,y)\| (x,y)\in[0,\pi]\times[0,\pi]\} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ , und geben Sie an, in welchen Stellen aus $\begin{eqnarray} [0,\pi]\times[0,\pi] \end{eqnarray}$ Maximum und Minimum angenommen werden. Meine Ideen: Ja, in der Schule hatten wir einfach ne erste Ableitung gebildet und gleich Null gesetzt. Und hier kann ich ja nur die partielle Ableitung bilden. Bringt es mich wirklich weiter??? Vielen Dank voran für eure Hilfe!
04.07.2011, 18:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: maximum und minimum einer funktion mit zwei unbekannten 1. Warum wird es min und max geben? 2. Was ist die Jacobimatrix? 3. Was sind singuläre Punkte? 4. Was ist die Hessematrix?
04.07.2011, 21:05	melaniehot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: maximum und minimum einer funktion mit zwei unbekannten Also, es wird ein Min und ein Max geben, weil der Gradient der Funktion gezeigt hat, dass es in $\begin{eqnarray} x=\pi/2 und y=\pi /2 \end{eqnarray}$ kritische Punkte existieren! Nun habe ich die Hesse-Matrix gebildet: $\begin{eqnarray} <br /> H(g)= \begin{pmatrix} -sinx-sin(x+y) & -sin(x+y) \\ -sin(x+y) & -siny-sin(x+y)\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Das Einsetzen der "verdächtigen" Werten liefert mir eine Matrix bei welcher die Eigenwerte (sind zwei) echt kleiner Null sind. Daraus kann ich schlussfolgern, dass im Punkt, sagen wir mal $\begin{eqnarray} P(\pi/2;\pi/2) \end{eqnarray}$ ein lokales Maximum liegt!? Nun verstehe ich aber nicht, wie ich die Stellen ermitteln soll, an welchen Min und Max liegen? Kann jemand vllt da beitragen ?=)
04.07.2011, 21:52	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: maximum und minimum einer funktion mit zwei unbekannten 1. Nein, dass ich nicht die Begründung, warum man weiß, das min und max existeren. Eindimensionales Gegenbespiel: f(x)=x³. Du wurdest sagen: Es gibt Min/Max, weil f'(0)=0. Passt ja nicht. 2. Punkte haben hier 2 Koordinaten. Du hast aber nun einen Punkt angegeben. Warum sprichst du dann im Plural? Was fällt dir bei den Koordinaten auf? Auf was hast du sie noch geprüft? 3. Das mit der Hessematrix ist dann für diesen Punkt korrekt. Was fällt dir 4. Wo ist das Minimum. Es muss wegen 1 ja existieren.
04.07.2011, 22:37	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
erste Bürgerplicht, sozusagen notwendige Bedingung sind die Punkte mit $\begin{eqnarray} \mathfrak{grad} \,f(\vec x )= \vec 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec x = (x,y) \end{eqnarray}$ von denen hast du noch keinen genannt. Wie man die findet? Auf jeden Fall nicht als NLGS. Würde sagen: ausprobieren. Danach kommt der Test ob Max oder Min oder nix ( Sattelpunkt ) vorliegt. ( Hurwitz Kriterium)
04.07.2011, 22:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
nullte Bürgerpflicht: erkenne, ob die Aufgabe restringiert ist...
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