Winkel zwischen Polynomen

04.07.2011, 16:35	unr8d	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel zwischen Polynomen Hi, habe gerade folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} (\mathbb R [t],s) \end{eqnarray}$ der euklidische Raum mit $\begin{eqnarray} s(p,q)=\int_0^1 \! p(t)q(t) \, dt \end{eqnarray}$ . Sei U der von den Polynomen $\begin{eqnarray} p_1(t)=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_2(t)=t \end{eqnarray}$ aufgespannte Unterraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R [t] \end{eqnarray}$ . Bereichnen Sie den Winkel zwischen $\begin{eqnarray} p_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_2 \end{eqnarray}$ und bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von U. Orthonormalbasis bestimmen ist kein Problem. $\begin{eqnarray} \{1,\sqrt{12}(t-\frac{1}{2})\} \end{eqnarray}$ sollten das erfüllen. Wie aber ist hier der Winkel zwischen 2 Polynomen definiert? $\begin{eqnarray} s(p_1,p_2)=\int_0^1 \! 1t \, dt = \frac{1}{2}t^2 \|_0 ^1 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ Was kann ich damit anfangen?
04.07.2011, 17:10	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du denn die Definition des Winkels mit dem Standardskalarprodukt? Ersetze dort das Standard-SP durch s.
04.07.2011, 17:10	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen Polynomen Das Integral ist hier das Skalarprodukt. Wie berechnet man denn den Winkel zwischen zwei Elementen eines Vektorraums mit dem Skalarprodukt?
04.07.2011, 18:12	unr8d	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, da war irgendwann mal was... $\begin{eqnarray} cos(1,t)=\frac{<1,t>}{\|\|1\|\|\|\|t\|\|}=\frac{1/2}{1\sqrt{1/3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ Damit berträgt der Winkel 30° Sollte dann ja so passen. Vielen Dank
04.07.2011, 18:18	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
, passt.
02.06.2019, 09:41	honigbine	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weis der post ist länger her, aber kann mir jemand erklären wie auf die orthonormalbasis kommt und wenn er den cosinus berechnet warum 1/3
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02.06.2019, 11:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine ONB berechnet man immer von einer Basis ausgehend nach dem Verfahren von Gram-Schmidt. Winkel sind über den Cosinus genau so definiert, wie es dasteht (Im Zähler Skalarprodukt, im Nenner das Produkt der Normen).

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