Hessesche Normalenform

16.12.2006, 18:06	Mathe00	Auf diesen Beitrag antworten »
Hessesche Normalenform ich befasse mich grad mit der HNF und versteh die herleitung überhaupt nicht. außerdem glaub ich das in meinem buch ein druckfehler ist, bin mir aber nicht sicher, weil ich überhaupt nicht durchsteige. der satzt lautet: Ist $\begin{eqnarray} (\vec{x} -\vec{p} )\vec{n_0} =0 \end{eqnarray}$ die HNF einer Gleichung der Ebene E, so gilt für den Abstand d eines Punktes R mit dem Ortsvektor $\begin{eqnarray} \vec{r} \end{eqnarray}$ von der Ebene E: $\begin{eqnarray} d= \mid ( \vec{r} -\vec{p} )\vec{n_0} \mid \end{eqnarray}$ ist nicht $\begin{eqnarray} \vec{p} \end{eqnarray}$ der ortsvektro von E? und wie kommt man von der HNF darauf, den abstand auszurechnen? ich kapier die herleitung einfach nicht. hab auch schon auf wikipedia gelesen und versteh immer noch bahnhof.
16.12.2006, 18:09	cleverclogs	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Buch erscheint KEINE Druckfehler zu haben (wenigstens nicht an der Stelle!). Der HNF ist extra von Hesse ausgedacht, um den ABstand zu eine Ebene zu berechnen
16.12.2006, 18:10	cleverclogs	Auf diesen Beitrag antworten »
Um zu helfen... Hast Du Probleme mit eine Normalenform?
16.12.2006, 18:11	TheGreatMM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hessesche Normalenform R ist der zu überprüfende Punkt, P ein Punkt der Ebene...
16.12.2006, 18:19	TheGreatMM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hessesche Normalenform ach du hast ja noch dem warum gefragt: Nun das ist einfache Vektoraddition, besser Subtraktion. $\begin{eqnarray} \vec{PR} = \vec{OR} - \vec{OP} \end{eqnarray}$ ergibt den Abstand zur Ebene, wenn man es anschließend mit dem Einheitsvektor mulitpliziert...
16.12.2006, 18:34	Mathe00	Auf diesen Beitrag antworten »
ähm stimmt das buch den jetzt oder nicht, weil ihr beide jeweils was anderes sagt. cleverdogs meint da ist kein druckfehler und TheGreatMM sagt: "R ist der zu überprüfende Punkt, P ein Punkt der Ebene... " wenn P punkt der ebene ist, ist das doch praktisch der ortsvektor und damit würde das was im buch stimmt falsch sein, weil sie sagen $\begin{eqnarray} \vec{r} \end{eqnarray}$ also der Punkt R sei der Ortsvektor. die normalenform versteh ich ja, aber wie kommt man jetzt einfach darauf den abstand damit auszurechnen, nur weil man den ortsvektor nomiert hat?
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16.12.2006, 18:34	Mathe00	Auf diesen Beitrag antworten »
ich meine weil man den normalenvektor nomiert hat.
16.12.2006, 18:42	cleverclogs	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hessesche Normalenform Wenn der Normalvektor normiert ist, dann ist er ein Einheit lang. Wenn Du dann R anstatt eine beliebe Punkt x einsetzt bekommst Du den Abstand d(R;E)
17.12.2006, 01:42	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der tiefere Sinn liegt in der Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren. Dieses ist gleich der Länge des einen Vektors mal der Projektion dessen auf den anderen Vektor. Projiziert man nun den Differenzvektor $\begin{eqnarray} \vec{RP} \end{eqnarray}$ auf den Einheits-Normalvektor der Ebene (Länge 1), so ist eben das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} (\vec{r} - \vec{p}) \cdot n_0 = d \end{eqnarray}$ Das Vorzeichen von d gibt an, ob der Nullpunkt in derselben Halbebene wie R liegt oder nicht. Wenn's nur um den zahlenmäßigen Abstand geht, setzt man das Ganze in Betragszeichen. mY+

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