Wurzel(en) bei konvergenten und divergenten Folgen

04.07.2011, 23:41

confused Stud.

Wurzel(en) bei konvergenten und divergenten Folgen

Ich habe 2 Aufgaben gefunden (inkl. Lösungsweg) und bin mir bei der ersten nicht sicher ob ich wirklich verstanden habe, was gerechnet wurde (aber definitiv nicht warum) und bei der zweiten konnte ich den Rechnweg überhaupt nciht nachvollziehen.

Aufgabe 1:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+5} - n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{n + 5} - n)(\sqrt{n + 5} + n)}{\sqrt{n + 5} + n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n + 5 - n^{2}}{\sqrt{n + 5} + n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1 + \frac{5}{n} - n}{\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{5}{n^{2}}}+ 1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow - \infty \end{eqnarray*}$ bestimmt divergent

Für was muss man hier noch rechnen, man sieht doch bereits zu Beginn der Folge, dass Sie bestimmt divergent gegen minus Unendlich ist. Was die Rechnung betrifft, war meine mutmaßung, wie man bei jeder Rechnung etwas dazuschreiben darf, sofern dies das Ergebnis nicht verändert ist dies auch der Fall. Denn das hier neue ist umgerechnet 1/1, also 1 und egal welcher Wert mit 1 multipliziert behält seinen Wert bei.

Aufgabe 2:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^{2} + 100} - \sqrt{n^{2} + 30} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n^{2} + 100n - (n^{2} + 30)}{\sqrt{n^{2} + 100} + \sqrt{n^{2} + 30}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{100 - \frac{30}{n}}{\sqrt{1 + \frac{100}{n}} + \sqrt{1 +\frac{30}{n^{2}}}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{100}{2} \end{eqnarray*}$ = 50 konvergent

Wie nun Aufgabe 2 gerechnet wird will mir nicht in den Sinn. Das das Ergebnis nicht ersichtlich ist ist mir hingegen klar.

Ich wäre für ein paar kurze Hinweise sehr dankbar.

04.07.2011, 23:50

allahahbarpingok

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Aufgabe 2 wird mit der 3. binomischen Formel erweitert und dann durch n^2 gekürtzt.

edit: Bei Aufgabe 2 wurde falsch gekürzt? Mein CAS spuckt als Grenzwert 0 aus für n -> unendlich

04.07.2011, 23:55

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehen ist kein Beweiskriterium. Wie lauten die Grenzwertsätze? Wie könnten 2 Folgen aussehen, die die Gesamtfolge beschreiben? Wie lauten deren Grenzwert? Und da kommst du in der ersten Darstellung der Folge eben nicht weiter. Daher der Umformungsaufwand.

05.07.2011, 10:17

confused Stud.

Auf diesen Beitrag antworten »

Also nur nochmal zum Verständnis:

Wie Aufgabe 1 gerechnet wird habe ich mir also richtig überlegt.

Zu Aufgabe 2 die 3. binomische Formel kenne ich, nur wie sieht hier die Erweiterung aus, erkenne irgendwie nicht was a und was b sein soll.
Bezüglich dem Kürzen: bei immer größer werdendem n laufen 30/n , 100/n und 30/n² gegen 0, also bleiben über dem Bruch nur noch 100 übrig und unter dem Bruch stehen $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} + \sqrt{1} \end{eqnarray*}$ was 100/2 ergibt. So wurde es mir zumindest mal erklärt.

05.07.2011, 10:35

allahahbarpingok

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wurzel(en) bei konvergenten und divergenten Folgen
Ich sagte doch bereits in der Aufgabe 2 wurde falsch gekürzt. Schau doch mal mit dem CAS, das Ding geht gegen 0...

Aufgabe 2:
$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{n^{2} + 100} - \sqrt{n^{2} + 30})*(\sqrt{n^{2} + 100} + \sqrt{n^{2} + 30})}{(\sqrt{n^{2} + 100} + \sqrt{n^{2} + 30})} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n^{2} + 100n - (n^{2} + 30)}{\sqrt{n^{2} + 100} + \sqrt{n^{2} + 30}} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{2} + 100n - n^{2} - 30}{\sqrt{n^{2} + 100} + \sqrt{n^{2} + 30}} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac{ 100n - 30}{\sqrt{n^{2} + 100} + \sqrt{n^{2} + 30}} \end{eqnarray*}$

Kürzen durch n^2:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{100}{n} - \frac{30}{n^2}}{\sqrt{1 + \frac{100}{n^2}} + \sqrt{1 +\frac{30}{n^{2}}}} \end{eqnarray*}$

05.07.2011, 14:24

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wurzel(en) bei konvergenten und divergenten Folgen
Das Problem mit den Grenzwerten ist, dass mit exisiteren nicht oo gemeint ist. Auch wenn wir bestimmte Divergenz gerne notieren.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \sqrt{n+5} = \infty,~ \lim_{n \to \infty} n = \infty \end{eqnarray*}$

Das hilft uns für eine Beurteilung der Differenzfolge nicht weiter. Man sieht aber eine Chance darin, dass die Folgen unterschiedlich schnell zu wachsen scheinen. Man versucht geschickt Grrenzwerte zu erzeugen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 1 + \frac{5}{n} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{5}{n^{2}}}+ 1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n = \infty \end{eqnarray*}$

Damit kann man nun schlüssig argumentieren, dass die eigentliche Folge nach unten unbeschränkt ist und bestimmt divergiert. Die bestimmt divergente Folge ist nun "unkritisch" eingebunden.

Bei Aufgabe (b) hat man das Gefühl, 2 gleich schnell wachsende Folgen zu haben. Muss aber auch wieder geschickt umformen, um Grenzwertsätze und Schussfolgerungen anwenden zu dürfen.

Ziel ist es im Grunde, dem "schnell" mathematische Gestalt zu verleihen.

08.07.2011, 11:32

confused Stud.

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank an allahahbarpingok und tigerbine, ich bin mit den Ausführungen schon ein gutes Stück weiter gekommen. Jedoch ist mir leider noch nicht klar geworden, wieso ich bei Aufgabe 2 durch die 3. binomische Formel auf einmal einen Bruch habe.
@ tigerbine: Du hast geschrieben, dass man versucht geschickt Grenzwerte zu erzeugen. Gibt es dazu einen workshop, oder noch eine andere Erklärung. Ich hab so das Gefühl ich stehe bezüglich dieses Themas ziemlich auf dem Schlauch.
@ allahahbarpingok: Danke für das komplette ausschreiben der Aufgabe, kenne das Werkzeug CAS nicht und hielt dies nach deinem ersten Satz für einen Taschenrechner. (muss mich wohl mit dem Tool noch etwas auseinander setzten)

08.07.2011, 15:49

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

@ tigerbine: Du hast geschrieben, dass man versucht geschickt Grenzwerte zu erzeugen. Gibt es dazu einen workshop, oder noch eine andere Erklärung. Ich hab so das Gefühl ich stehe bezüglich dieses Themas ziemlich auf dem Schlauch.

Ist mir nicht bekannt. Einfach Boardsuche nach Aufgaben nutzen.

14.07.2011, 23:44

confused Stud.

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe gerade nochmal drüber gesehen und mir sind 2 Sachen aufgefallen.
1. Wenn sich jemand wie ich (als damals noch Unwissender) diesen Threat anschaut wird er nicht viel schlauer werden.
Hierzu der Vermerk: Wenn ich von einer Folge den "Grenzwert" bestimmen möchte und eine Wurzel vor mir habe, versuche ich die Funktion immer so zu erweitern, dass sich im Zähler (welcher sich bei einer Erweiterung ergibt) die Ausgangslage der 3. binomischen Formel bildet. Dies ist ein Trick um die Wurzel weg zu bekommen.
(Das war das woran ich persönlich zumindest gehangen habe, ich habe einfach nicht kapiert das ich dies machen musste.)

2. Sollte ich mich jetzt nicht verrechnet haben, sollte sich ein Fehler aus der Aufgabe ich ich sie gepostet habe bis in die Korrektur geschlichen haben.
Aufgabe 2:
$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{n^{2} + 100} - \sqrt{n^{2} + 30})*(\sqrt{n^{2} + 100} + \sqrt{n^{2} + 30})}{(\sqrt{n^{2} + 100} + \sqrt{n^{2} + 30})} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n^{2} + 100(>n<) - (n^{2} + 30)}{\sqrt{n^{2} + 100} + \sqrt{n^{2} + 30}} \end{eqnarray*}$ =...
//Woher kommt das n hinter der 100. Dies taucht zumindest wenn ich die Aufgabe von Beginn an noch einmal nachrechne nicht auf, da sich schlichtweg die Wurzel wegkürzt und hinter der 100 vor diesem Schritt auch kein n stand.

15.07.2011, 08:31

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von confused Stud.
Woher kommt das n hinter der 100. Dies taucht zumindest wenn ich die Aufgabe von Beginn an noch einmal nachrechne nicht auf, da sich schlichtweg die Wurzel wegkürzt und hinter der 100 vor diesem Schritt auch kein n stand.

Das kann ich dir auch nicht sagen. Es gehört jedenfalls kein n dahin.

Neue Frage »

Antworten »

Wurzel(en) bei konvergenten und divergenten Folgen

Verwandte Themen