Gruppentheorie, umformen

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16.12.2006, 18:39	informatikmaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppentheorie, umformen Aufgabe: Es seien a, b, c Elemente einer Gruppe. Man vereinfache den folgenen Ausdruck: $\begin{eqnarray} (ab^{-1}c)^{-1}a(a^{-1}c^{-1}b)^{-1} \end{eqnarray}$ kann ich das so machen? $\begin{eqnarray} = a^{-1}bc^{-1}a(acb^{-1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = a^{-1}bc^{-1}a^{2}accb^{-1} \end{eqnarray}$ dann kürzen von $\begin{eqnarray} a^{-1} , a^{2} \end{eqnarray}$ und das gleiche für c $\begin{eqnarray} = bb^{-1}a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b^{-1}b \end{eqnarray}$ ist gleich 1 also = a
16.12.2006, 18:42	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein - bei der Invertierung eines Produktes als Produkt der Einzelinvertierungen kehrt sich die Reihenfolge der Faktoren um: $\begin{eqnarray} (ab^{-1}c)^{-1} = c^{-1}ba^{-1} \end{eqnarray}$ Es sei denn natürlich, du hast eine abelsche Gruppe vorliegen, dann kannst du die Produktreihenfolge beliebig durcheinanderwürfeln. Aber von einer abelschen Gruppe war hier ja keine Rede.
16.12.2006, 18:59	informatikmaus	Auf diesen Beitrag antworten »
ok...... dann bekomme ich im ersten schritt: $\begin{eqnarray} c^{-1}ba^{-1}a(b^{-1}ca) \end{eqnarray}$ stimmt das? und was mache ich dann mit dem a vor der klammer? ausmultiplitieren? etwa so? $\begin{eqnarray} c^{-1}ba^{-1}ab^{-1}aca^{2} \end{eqnarray}$ ???
16.12.2006, 19:04	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo kommt denn das Quadrat ganz rechts her? Jetzt kannst du schrittweise vereinfachen, indem du $\begin{eqnarray} aa^{-1} = a^{-1}a = bb^{-1} = b^{-1}b = cc^{-1} = c^{-1}c = e \end{eqnarray}$ (Einselement) nutzt, so von innen nach außen. Aber nicht einfach die Reihenfolge vertauschen, wie du es oben in deinem ersten Beitrag gemacht hast, das ist i.a. nicht erlaubt!!! Bei einer nichtabelschen Gruppe ist i.a. $\begin{eqnarray} ab \neq ba \end{eqnarray}$ , das solltest du beachten!
16.12.2006, 19:05	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Assoziativgesetz: $\begin{eqnarray} (c^{-1}(b(a^{-1}a)b^{-1})c)a \end{eqnarray}$ Und jetzt einfach "ausrechnen"
16.12.2006, 19:20	informatikmaus	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (c^{-1}(b(a^{-1}a)b^{-1})c)a \end{eqnarray}$ darf ich jetzt sagen $\begin{eqnarray} (c^{-1}(b(a^{-1}a)b^{-1})c)a \end{eqnarray}$ ist das gleiche wie $\begin{eqnarray} (c^{-1}(b(aa^{-1})b^{-1})c)a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} aa^{-1} \end{eqnarray}$ ist gleich 1 also fällt es weg, usw? $\begin{eqnarray} (c^{-1}(bb^{-1})c)a \end{eqnarray}$ ...............? und bleibt dann am ende nur a übrig? $\begin{eqnarray} aa^{-1} = a^{-1}a = bb^{-1} = b^{-1}b = cc^{-1} = c^{-1}c = e \end{eqnarray}$ (Einselement) ...das mit (einsel oder einzel?element habe ich noch nie gehört)
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16.12.2006, 19:26	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist korrekt. Eins-Element, nicht Einsel-Element Auf Englisch: Identity element Gruß, therisen
16.12.2006, 19:29	informatikmaus	Auf diesen Beitrag antworten »
muss ich nochmal nachsehen ob dass bei uns im skript vorkommt? kann man das sonst ohne diesen ausdruck irgendwie schreiben?
16.12.2006, 19:31	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann mir schwer vorstellen, dass ihr Gruppentheorie ohne Einselement betreibt...
16.12.2006, 19:44	informatikmaus	Auf diesen Beitrag antworten »
ist das etwa id die identität????
16.12.2006, 19:50	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ja. Die Benennung variiert da etwas.
16.12.2006, 19:54	informatikmaus	Auf diesen Beitrag antworten »
na dann ist alles klar danke! muss ich mal sehen wie ich das nun aufschreibe
16.12.2006, 19:58	informatikmaus	Auf diesen Beitrag antworten »
die identität ist auch das neutrale element?
16.12.2006, 20:34	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich ist "id" die Funktion, die alles auf sich selbst abbildet. "id" kann zum Einselement gemacht werden, wenn man Gruppen betrachtet, in denen Funktionen Gruppenelemente sind.
16.12.2006, 21:12	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
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