Doppelte Eigenwerte und deren Eigenvektoren

05.07.2011, 11:38

Royal_Ts

Doppelte Eigenwerte und deren Eigenvektoren

Hey leutz! Ich hab die wunderschöne MAtrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gegeben. Aufgabenstellung ist Eigenwerte und Eigenvektoren ausrechnen.

So weit so gut.

Das charakteristische Polynom ist
$\begin{eqnarray*} x^{3}-4x^{2}+5x+2 \end{eqnarray*}$

mit den Eigenwerten : (1;1;2)

Als Eigenvektor zum Eigenwert 1 habe ich jetzt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -4 & -4 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also den Eeigenvektor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Allerdings zeigt mir der onlinerechner : http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm

Noch eine 2. Lösung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
an... Wie komme ich bitte auf diese Lösung.

Bin für jeden Beitrag dankbar. Stefan

05.07.2011, 12:09

klarsoweit

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RE: Doppelte Eigenwerte und deren Eigenvektoren

Zitat:

Original von Royal_Ts
Wie komme ich bitte auf diese Lösung.

Die ergibt sich aus der elementaren Kenntnis des Gaußverfahrens. smile

Der Rang der Matrix ist 1, also ist die Dimension des Kerns = 3 - 1 = 2.

Und das Gaußverfahren sagt einem bei dieser Matrix, daß die Variablen x_3 und x_1 freie Parameter sind.

05.07.2011, 12:15

allahahbarpingok

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Also schau meistens erhälst du sogenannte Eigenräume, welche eine Menge von Eigenvektoren enthalten. Es kann mehrere Eigenvektoren zu einem Eigenwert geben. Dies ist hier der Fall.

Um an Eigenvektoren zu einem Eigenwert zu kommen musst du so ansetzen:

$\begin{eqnarray*} kern(A-k*E) = 0 \end{eqnarray*}$

A ist die oben gegebene Matrix, E die Einheitsmatrix, und k ein Eigenwert. In dem Fall, würde wir k = 1 setzen und nun das LGS lösen. Das LGS sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} 0x_1 - 4x_2 - 4x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_1 - x_2 - x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Man sieht schnell, dass dieses LGS unendlich viele Lösungen liefert. Man sieht hier schon, dass es also unendlich viele Eigenvektoren zu diesem Eigenwert gibt O_O. Jetzt bestimmt man die Lösungsmenge des LGS:

L = { $\begin{eqnarray*} (x_1,-x_3,x_3) | x_1, x_3 \in |R \end{eqnarray*}$ }

x_1 kann beliebig gewählt werden, weil man sieht oben, dass es sowieso mit dem Faktor 0 multipliziert wird.

Jetzt bestimmt man eine Basis für die Lösungsmenge:

Eimmal auseinanderziehen:

L = { $\begin{eqnarray*} (x_1,-x_3,x_3) } = { (x_1,0,0) + (0,-x_3,x_3) \end{eqnarray*}$ }

Nun Faktor rausiziehen:

{ $\begin{eqnarray*} x_1*(1,0,0) + x_3*(0,-1,1) \end{eqnarray*}$ }

Jetzt siehst man sofort die Basis:

{ $\begin{eqnarray*} (1,0,0), (0,-1,1) \end{eqnarray*}$ }

Dies ist gerade der Eigenraum zum Eigenwert 1. Wenn du nun mit diesen beiden Vektoren linear kombinierst erhälst du immer einen Eigenvektor zum Eigenwert 1.

edit: da war wohl jemand schneller QQ

05.07.2011, 12:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von allahahbarpingok
Man sieht schnell, dass dieses LGS unendlich viele Lösungen liefert. Man sieht hier schon, dass es also unendlich viele Eigenvektoren zu diesem Eigenwert gibt O_O.

Das ist übrigens bei der Eigenvektor-Bestimmung immer der Fall. Anders gesagt: wenn das nicht so rauskommt, hat man was falsch gemacht. Big Laugh

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