Anfangswertproblem

05.07.2011, 13:07

joet

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Anfangswertproblem

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich hab eine Aufgabe zulösen und zwar:
lösen sie das Anfangswertproblem
y'-2y=cos(x), y(0)=0

Meine Ideen:
Ich habe erstmal umgeformt zu
dy/dx -2y =cos(x).
Aber ich weiss nicht wie ich weiter vorgehen soll.
Ist der Ansatz falsch?
Danke im vorraus für die Hilfe

05.07.2011, 13:08

klarsoweit

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RE: Anfangswertproblem
Man sollte sich erstmal überlegen, welchen Typ von DGL man vorliegen hat. Daraus ergeben sich dann konkrete Hinweise auf das Lösungsverfahren.

05.07.2011, 13:27

joet

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RE: Anfangswertproblem
also in der form y'=cos x +2y. eine explizite DGL 1. Ordnung.
Es ist keine DGL mit getrennten Veränderlichen.
soweit richtig?

05.07.2011, 13:34

klarsoweit

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RE: Anfangswertproblem

Zitat:

Original von joet
also in der form y'=cos x +2y. eine explizite DGL 1. Ordnung.

Nu ja, die Form y' - 2y = cos(x) ist schon ok.

Zitat:

Original von joet
Es ist keine DGL mit getrennten Veränderlichen.

Wird es aber, wenn man mal das cos(x) wegläßt.

Dieser DGL-Typ ist übrigens recht häufig anzutreffen. Also nochmal in die Vorlesungsunterlagen schauen.

05.07.2011, 14:10

joet

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RE: Anfangswertproblem
Ist das eine inhomogene lineare Dgl?

05.07.2011, 14:11

klarsoweit

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RE: Anfangswertproblem
Haargenau! Rock

Rock

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05.07.2011, 14:55

joet

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RE: Anfangswertproblem
Super schonmal danke! Also is $\begin{eqnarray*} y_{h}=e^{0.5x+c} \end{eqnarray*}$

05.07.2011, 16:06

klarsoweit

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RE: Anfangswertproblem
Nein. Setz das mal in die homogene DGL ein.

05.07.2011, 16:28

joet

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RE: Anfangswertproblem
die homogene Dgl ist doch y'-2y=0?
oder hab ich das auch falsch verstanden

05.07.2011, 17:57

joet

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RE: Anfangswertproblem
Danke hab jez die lösung nach ein bisschen suchen lesen und denken.
Schönen abend noch

05.07.2011, 21:35

Phys

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hi ich habe für die homogene löösung nun $\begin{eqnarray*} y= exp{2x+c} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit korrekt?

Leider weiß ich nun nicht genau wie ich weiter machen muss.

Also meine idee ich will ja nun die inhomogene Lösung bestimmen

$\begin{eqnarray*} y'=k*2*e^{2x}+k'*e^{2x}<br /> <br /> y'=2*y+k'*e^{2x} \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig?

und wie löse ich das nun auf und was mache ich mit den ANfangsbedingungen

für hilfe wäe ich sehr dankbar

MFG Phys

06.07.2011, 08:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von Phys
Also meine idee ich will ja nun die inhomogene Lösung bestimmen

$\begin{eqnarray*} y'=k*2*e^{2x}+k'*e^{2x}<br /> <br /> y'=2*y+k'*e^{2x} \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig?

Ja. Setze nun dieses y' in die inhomogene DGL ein.

06.07.2011, 09:11

Phys

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ok wenn ich das nun einsetze bekomme ich

$\begin{eqnarray*} 2y+k'*e^{2x}-2y=0<br /> <br /> k'*e^{2x}=0 \end{eqnarray*}$

da exp immer positiv ist muss c'=0 sein daraus folgt nun das c= const sein muss.

aber wie kriege ich nun den schluss hin?

06.07.2011, 09:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von Phys
ok wenn ich das nun einsetze bekomme ich

$\begin{eqnarray*} 2y+k'*e^{2x}-2y=0 \end{eqnarray*}$

Ich hatte gesagt, in die inhomogene DGL einsetzen. Lehrer

Lehrer

06.07.2011, 09:46

Phys

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oh mist verlesen

$\begin{eqnarray*} 2y+k'*e^{2x}-2y=cos (x)<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k'*e^{2x}=cos(x) \end{eqnarray*}$

nun ist die ableitung einer Konstanten ja 0

und damit cos(x)= 0

x=1 ist das dann richtig?

und wie komme ich dann weiter

06.07.2011, 09:57

Phys

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ach käse nicht 1 sondern 2pi

06.07.2011, 10:00

klarsoweit

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k ist keine Konstante, wie kommst du darauf? verwirrt

verwirrt

Du hast (wohl nur zufällig) den Ansatz der Variation der Konstanten gemacht. Dazu macht man eben den Ansatz $\begin{eqnarray*} y_{inh}(x) = k(x) \cdot y_{hom}(x) \end{eqnarray*}$ .

Die daraus resultierende DGL $\begin{eqnarray*} k'*e^{2x}=cos(x) \end{eqnarray*}$ ist durch Integration leicht zu lösen. Du brauchst nur das $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ auf die rechte Seite zu bringen.

Übrigens folgt aus cos(x)= 0 nicht, daß x=1 ist. Das sollte ein Physiker eigentlich wissen.
EDIT: auch nicht 2*pi. smile

smile

06.07.2011, 12:26

Phys

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war heute morgen noch etwas verpeilt sorry also jetzt noch mal richtig

$\begin{eqnarray*} k'*e^{2x}=cos(x)<br /> k'=e^{-2x}*cos(x)<br /> k=\int \! e^{-2x}*cos(x) \, dx <br /> k= \frac{1}{5} e^{-2 x} (sin(x)-2 cos(x))+c<br /> \end{eqnarray*}$

so wenn ioch das nun einsetzte udn durchrechne komme ich auf

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{5}(e^{2x}+sin(x)-2cos(x)) \end{eqnarray*}$

06.07.2011, 12:41

klarsoweit

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Das ist richtig. Freude

Freude

06.07.2011, 12:42

phys

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ok vielen dank dir

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