Mit der Definition des Vektorproduktes folgendes beweisen...

05.07.2011, 13:08	Thiel	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Definition des Vektorproduktes folgendes beweisen... Meine Frage: Ich soll mit der Definition des Vektorproduktes folgende Sätze beweisen: 1. Zwei Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ sind genau dann parallel, wenn gilt: $\begin{eqnarray} \vec{a} \times \vec{b} \equiv \vec{0} \end{eqnarray}$ 2. Zwei Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ sind genau dann zueinander orthogonal, wenn gilt: $\begin{eqnarray} \| \vec{a} \times \vec{b} \| \equiv \| \vec{a} \| \| \vec{b} \| \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Da finde ich nicht wirklich einen Ansatz wie man vorgehen muss, sowohl bei 1. und 2.
05.07.2011, 13:13	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mit der Definition des Vektorproduktes folgendes beweisen... Wie habt ihr denn das Vektorprodukt definiert?
05.07.2011, 13:17	Thiel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist einfach ne Aufgabe aus dem Buch, allein das ist eben schon das Problem. Was meinen die Guten denn nun genau mit Definition. Einfach die Formel oder die Bedeutung oder oder? Ich weiß es nicht Wir haben bisher "nur" die Formel und haben es angewendet und mir ist klar, dass das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor zu $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ findet.
05.07.2011, 14:18	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir sind uns einig, daß man von einem Vektorprodukt nur dann reden kann, wenn man weiß, wie es definiert ist? Die Definition kann auch eine Formel sein. Aber wie gesagt: ohne daß du eine Definition angibst, kommen wir nicht weiter.
05.07.2011, 16:20	Thiel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei sich die Formel für das Kreuz/Vektorprodukt ja nicht so massiv unterscheiden sollte? Na auf jeden fall schreibt man es ja so: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} a_2\cdot b_3- a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Wobei wir ne Art "Eselsbrücke" haben und es nicht stur nach der Formel nach dem = ausrechnen, sondern eben mit der Eselsbrücke...aber das ist ja für die Definition egal.
05.07.2011, 16:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es war schon wichtig, die Definition des Vektorproduktes anzugeben. Wenn du nämlich glaubst, das sei die einzige Möglichkeit, dieses Produkt zu definieren, irrst du dich gewaltig. Gehen wir jetzt also davon aus. $\begin{eqnarray} \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \, , \ \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für die eine Richtung nimm $\begin{eqnarray} \vec{b} = \lambda \vec{a} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ an und setze das in die Formel für $\begin{eqnarray} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray}$ ein. Was kommt heraus? Für die umgekehrte Richtung gehst du von der Gültigkeit der drei Gleichungen $\begin{eqnarray} a_2 b_3 - a_3 b_2 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_3 b_1 - a_1 b_3 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0 \end{eqnarray}$ aus. Jetzt unterscheide zwei Fälle: Entweder ist $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ der Nullvektor oder er ist es nicht. Im ersten Fall sind die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a}, \vec{b} \end{eqnarray}$ linear abhängig. Da ist nichts zu zeigen. Im zweiten Fall können nicht alle Koordinaten von $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ sein. Nimm ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, daß $\begin{eqnarray} a_1 \neq 0 \end{eqnarray}$ ist. Dann kannst du die letzte Gleichung so umformen: $\begin{eqnarray} b_2 = \frac{b_1}{a_1} a_2 = \lambda a_2 \ \ \text{mit} \ \ \lambda = \frac{b_1}{a_1} \end{eqnarray}$ Warum gilt jetzt $\begin{eqnarray} \vec{b} = \lambda \vec{a} \end{eqnarray}$ ?
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