Stetigkeitsbeweis

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qed1991 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeitsbeweis
Hallo,

ich versuche mir gerade beizubringen, wie man die punktweise Stetigkeit einer Funktion beweist (Epsilon-Delta-Definition)

Dabei verstehe eine Aufgabe nicht so ganz.

Folgendes:

Zu beweisen ist: f(x):=1*x^(-2) ist stetig für alle x>0

Ok, am Anfang haben die einfach das Kriterium dazu verwendet, die haben den Betrag von f(x)-f(xo) genommen, umgeformt, usw. usf.


Nach Voraussetzung gilt: Der Betrag von x-xo ist größer als Delta.

Also gilt:

((x+xo)(xo-x))/(x²*xo²)< Delta * (x+xo)/(x²*xo²)

Bis hierhin versteh ich´s (Die haben ja im Prinzip nur umgeformt, den Nenner gleichnachmig gemacht, und dann die Voraussetzung angewandt.

Jetzt mein Problem: Wie werde ich das x los?

Die schätzen ganz komisch ab:

Die sagen einfach: Delta muss kleiner sein als xo/2. Dann sei x0 Element von ( xo/2, 3xo/2)

das verstehe ich ganz und gar nicht. Wie kommen die darauf?

Über Hilfe würde ich mich freuen,

mit freundlichen Grüßen
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dass x0 in diesem Intervall liegt, ist trivial. Viel besser ist die Abschätzung, weil x in diesem Intervall liegt. Das wiederum liegt daran, dass |x-x0| kleiner als delta ist (nicht wie du geschrieben hast "grösser als delta"). Bei Stetigkeit geht es in der Voraussetzung immer darum, dass x und x0 nahe beieinander sind. Und dann schließt man daraus, dass auch die Funktionswerte nahe beieinander liegen.
qed1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort,

Das mit dem Delta, da habe ich mich lediglich verschrieben, sorry.


Aber dennoch verstehe ich die Abschätzung überhaupt nicht.

Wie kommt man gerade auf die xo/2 und die 2xo/3?

Muss ich probieren? Gibt´s da irgendwie eine Vorgehensweise?

Das ist mein Problem - was du geantwortet hast (und was die in der Definition stehen haben) macht ja wirklich SInn für mich, aber ich wüßte einfach nicht, wenn man mir eine Aufgabe stellen würde, wie ich dann abzuschätzen habe, weil der Gedankengang einfach nicht klar ist.

Danke für die Hilfe
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Kunst der Mathematik. Im Prinzip ist alles klar mit epsilon und delta in der Analysis, mit offenen Umgebungen in der Topologie, mit sonstwas in anderen Theorien. Im Einzelfall hilft nur Definition und Sätz anwenden, Phantasie und Kreativität und Intelligenz und Erfahrung benutzen und Üben, Üben, Üben.
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