Produkt unabh. ZVn

05.07.2011, 17:58

Gast124

Produkt unabh. ZVn

Hallo,

ich soll die Dichte von Z:=XY berechnen. Dabei sind X, Y jeweils U(0,1) verteilt und unabhängig.
Mit einer Dichtetrafo komme ich ausgehend von $\begin{eqnarray*} f_Z (t) = \int_{-\infty} ^\infty f(t/y) f(y) 1/y dy \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} f_Z (t)= \int_0^1 1_{[0,1]}(t/y) (1/y) dy \end{eqnarray*}$
Da y > 0 habe ich den Betrag mal weggelassen.
1. stimmt das? (wahrscheinlich eher nein)

2. als ausgerechnete Dichte erhalte ich kein vernünftiges Ergebnis.

Danke!

05.07.2011, 18:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gast124
$\begin{eqnarray*} f_Z (t)= \int_0^1 1_{[0,1]}(t/y) (1/y) dy \end{eqnarray*}$
[...]

1. stimmt das? (wahrscheinlich eher nein)

Doch, es stimmt.

Zitat:

Original von Gast124
2. als ausgerechnete Dichte erhalte ich kein vernünftiges Ergebnis.

Details bitte! Dann finden wir auch den Fehler.

05.07.2011, 18:46

Gast124

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ich hab eingesetzt und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \int _0^1 1_{[0,1]} (t/y) \cdot (1/y) dy = log y |_0^1 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} t \leq y \end{eqnarray*}$ , 0 sonst.

05.07.2011, 18:53

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} f_Z(t) \end{eqnarray*}$ darf nur von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängen, d.h., im Endergebnis hat die Integrationsvariable $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nichts zu suchen, auch nicht in einer "Fallbeschreibung". unglücklich

Stattdessen musst du die im Integranden verbliebene Indikatorfunktion untersuchen, wo sie 1 ist, und dann entsprechend das Integrationsintervall anpassen (d.h. verkleinern).

05.07.2011, 19:03

Gast124

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also integrier ich von t bis 1?
und erhalte -log(t) als dichte?

05.07.2011, 19:13

HAL 9000

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Genau.

Ich würde allerdings eher $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ schreiben. Und natürlich gilt das ganze nur für $\begin{eqnarray*} 0<t\leq 1 \end{eqnarray*}$ ; für $\begin{eqnarray*} t>1 \end{eqnarray*}$ ist die Dichte gleich Null.

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