Schwerpunkt möglichst tief

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Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt möglichst tief
Hallo,

ich beschäftige mich mit der Frage, was die optimale Füllhöhe einer Flüssigkeit in einer Cola-Dose mit der Höhe und dem Radius ist, sodass der Schwerpunkt möglichst tief ist.

Hoffentlich ist das in Ordnung, dass ich diese Frage nicht im Physikboard gestellt habe, da sie ja auch etwas mit Physik zu tun hat.

Dazu hatte ich folgende Idee:

Ich bezeichne die Füllhöhe mit .
Der Schwerpunkt ist nun da, wo die Masse unterhalb und oberhalb gleich ist (da bin ich mir unsicher).

[attach]20430[/attach]

Es ist also die Masse bis gleich der Masse von bis .

Es ist hier also wichtig, die Masse der Dose und die Dichte der Flüssigkeit zu kennen ?

Vielen Dank
Gully45TG Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwerpunkt möglichst tief
Nein, das ist nicht wichtig, das ist auch keine Physikaufgabe sondern eine reine Matheaufgabe.
Es ist eine Extremwertaufgabe, wo du eine Hauptbedingung und eine Nebenbedingung austellen muss und dann die Nebenbedinung in die Hauptbedingung einsetzt und dann von dieser Funktion den Extrempunkt berechnen muss.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Überlegungen zu dem Schwerpunkt sind aber richtig?

Also, dass die Masse von unten bis s gleich der Masse von s bis oben sein muss.

Mich wundert es allerdings, dass die Dichte der Flüssigkeit nicht erforderlich ist, zu wissen...
Eine Flüssigkeit mit hoher Dichte würde den Schwerpunkt ja viel schneller nach unten bewegen... verwirrt
Gully45TG Auf diesen Beitrag antworten »

Bei solchen Aufgaben geht es immer um die Idealflüssigkeit, da die mathematische Betrachtung im Vordergrund steht.
Deshalb stehen bei solchen Aufgaben im Regelfall nie physikalische Eigenschaften dabei.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte mich doch noch vergewissern, dass die Überlegung richtig ist, dass die Masse vom Boden bis s gleich der von s bis oben sein muss.
Schließlich geht es hier ja auch um physikalische Aspekte.

Falls das auch nicht von Belang ist, hätte ich keine Idee, da ran zu gehen.

Hättest du vielleicht einen Tipp, wie man hier ansetzen könnte?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun las ich, dass man zunächst den Schwerpunkt der Flüssigkeit und den Schwerpunkt der Dose getrennt berechnen sollte.

Dabei ist der Schwerpunkt der Dose trivialerweise auf einer Höhe von . (Annahme: Die Masse der Dose ist homogen verteilt. [Eigentlich reicht es aus, anzunehmen, die Masse des Randes der Dose ist homogen verteilt.])
Der Schwerpunkt der Flüssigkeit ist bei .

Kann diese Vermutungen jemand bestätigen?

Wie muss man diese Schwerpunkte kombinieren ?

Hoffentlich kann mir jemand helfen?

Vielen Dank
 
 
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig. Du kannst dir die Dose mal als Rechteck zeichnen und die beiden Punkte einzeichnen. Der Schwerpunkt der Dose liegt dann auf der Strecke zwischen den beiden von dir genannten Schwerpunkten, und zwar teilt er die Strecke im Verhältnis der beiden Massen (und so, dass er näher an der schwereren Masse liegt).
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich kommt es auf das gewicht der dose und das spezifische gewicht der flüssigkeit an.
schau hier

da gibt´s auch eine excel datei dazu, wenn du sie unbedingt haben willst Augenzwinkern
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, dachte ich mir schon, dass gewisse physikalische Eigenschaften von Belang sind.
Die Dichte ist solch eine, denke ich.

Da ich die Aufgabe ohne weiteres von einem Bekannten gestellt bekommen habe, denke ich mir mal die Dichte der Flüssigkeit, was auch immer das sein mag, aus: .

Auf die Idee mit dem Rechteck hätte ich schon früher kommen sollen...



[attach]20431[/attach]

Wenn ich das nun richtig verstanden habe, sollte man sich eine Strecke zwischen und denken.
Dabei liegt wohl näher an als an .

"teilt er die Strecke im Verhältnis der beiden Massen"

Das heißt also ?
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

(Die Schwerpunkte liegen also horizontal gesehen in der Mitte des Rechtecks)

Wenn wir die beiden Punkte also verbinden und die kürzere Strecke nennen (und die längere dann ) , dann gilt



wobei die Masse der Dose und die Masse der Cola ist.

Edit:

Außerdem gilt : und dann kannst du in Abhängigkeit von darstellen. (Aufpassen, hängt ebenfalls noch von ab.

Der Schwerpunkt liegt dann in Abhängigkeit von bei , diese Funktion musst du nur noch minimieren.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, mal schauen, ob ich mit meiner Gleichung auch auf das gekommen wäre:



Nun ist sicherlich der Gesamt-Schwerpunkt näher an dem der Flüssigkeit, als an dem der Dose als solches.

Daher definiere ich und dementsprechend .

Also:


Nun Strecken und Massen je auf eine Seite bringen:

.

Wenn ich deine Formel ein bisschen umforme, z.B. den Kehrwert nehme, erhalte ich:


Das ist der Kehrwert meiner Formel, daher habe ich (auch) richtig gerechnet.

______________________________________________________________________

Nun kennt man ja .

Nur war das wirklich von Vorteil den Teilstrecken neue Namen zu geben?
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe meinen edit Augenzwinkern
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kennt:

ok:

Die Masse der Dose will ich noch nicht festlegen (man kann ja später eine Paramterkurve erstellen mit der Masse d. Dose als Paramter):

Nun möchte ich wissen, welche Masse die Flüssigkeit bei einer Dichte von hat:


Ist das korrekt?

Dann würde ich das einfach einsetzen:


Diese Gleichung wird nach aufgelöst, es wird dann eine Gleichung für den Gesamtschwerpunkt in Abhängigkeit von nur erstellt.

Diese wird lauten:


------------------------

------------------------



##############################



##############################
___________________________________________________________________________


Ich glaube, jetzt verstehe ich auch, warum du die Schreibweise mit dem Ausdruch bevorzugt hast. Hier (meine Variante) kann man nämlich nicht substituieren:

Ok, man könnte umformen: .
Allerdings halte ich die Variante besser, in der die Summe der Teilstrecken als neue Variablen aufgefasst werden!

Ich denke, dass das so in Ordnung ist, was sagst du dazu ?

Danke für deine Hilfe smile
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ein bischen viel Rechnerei für das Problem:

Der Schwerpunkt zweier oder mehrer Körper ist das gewichtete arithmetische Mittel aus den Schwerpunktsvektoren



( bei nichteinfachen Körpern wie z.B. Halbkugel gehen die Summen in Integrale über )

Du kannst also ohne weiteres die Dose zuerst mit etwas Quecksilber füllen, dann noch etwas Alkohol, den Rest mit CO2, den Boden aus Eisen, den Deckel aus Holz, und oben auf die Kante einen Würfel aus Messing...

Alles kein Problem, du musst nur die Orte der Schwerpunkte und die Massen kennen.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich mich zuerst der ersten Variante zuwenden möchte, werde ich nun die Funktion nach ableiten und mir dann Dopap Variante näher ansehen (die ja eigentlich einfacher aussieht ?).

Ich möchte also nach ableiten:



Hier würde ich die Quotientenregel benutzen:



Nun werden die Ableitungen benötigt:


Ist das soweit erst mal richtig?
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95

Ist das soweit erst mal richtig?


Jepp Freude
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

des Weiteren wird benötigt:



Daher ist

Nun wird gerechnet:


Auch richtig Big Laugh ?
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du musst den Nenner zum Quadrat nehmen:

Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, das hätte ich sehen müssen.

Es ist also

Und damit heißt es:
.

Und das dann gleich 0 setzen und auflösen:

Ich bezeichne nun mit den Extremwert der Füllhöhe, sodass .

Daher:
...
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Stopp, nicht so schnell. Das war nur der 2. Summand der Ableitung, vor dem gleich Null setzen musst du den ersten Summanden (1/2) wieder dazupacken Augenzwinkern

Ich bin für heute leider raus, aber jetzt gilt es ja nur noch beide Summanden auf einen Hauptnenner zu bringen und die Ableitung gleich Null zu setzen. Werde morgen nochmal drüber schauen!

Viel Erfolg
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »

OffTopic: Dieses Problem wird sehr einfach (und mit wesentlich weniger Rechenaufwand) im Buch "Der Mathematikverführer"von C. Drössler beschrieben.

LG Mathe-Maus Wink
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nun das Buch ist mir nicht bekannt.

Alles ist aus Symmetriegründen eindimensional in Höhe z.
Der Schwerpunkt der Dose ist bei h/2 mit der Masse

Die Flüssigkeit mit Dichte habe die Füllhöhe z. Der Schwerpunkt liegt bei z/2 mit der Masse

Der gemeinsame Schwerpunkt ist das gewichtete arithmetische Mittel



vereinfachen und Minimum suchen...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ok so ist es wirklich einfach!


Zu vereinfachen wüsse ich da nichts.

Ich setze nun: .

Es ist:




Damit ist

Nun bezeichne den Füllstand, für den gilt .

Dann ist:


@Mathe-Maus: Was für ein Zufall, das Buch habe ich mir vor 3 Tagen gekauft smile
Hatte leider noch keine Zeit, viel drin zu lesen...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Und nun die p-q-Formel:



Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann mich nun selbst kontrollieren!

Alles richtig gerechnet!

Hier mal als dynamisches Arbeitsblatt, erstellt mit GeoGebra.

Dose__Schwerpunkt.html
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
...

Zu vereinfachen wüsse ich da nichts.


Das z, die Füllhöhe tritt im 2. Summanden des Zählers quadratisch auf.

Ändert prinzipiell nichts, aber...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

nun habe ich die Formel ja raus und auch überprüft.
Sie ist tatsächlich richtig smile




Und nun zu der allgemeinen Formel von Dopap:



Wenn ich das richtig verstehe geht es hier um Körper, die Masse des -ten Körpers beträgt .

Nur was hat es mit auf sich?
Das ist wohl, wie du meintest, der Schwerpunktsvektor des -ten Körpers.
Doch wie ist dieser zu verstehen?

Wie wäre denn der Schwerpunktsvektor von z.B. der Flüssigkeit in der Dose bei einer Füllhöhe von ?

Vielen Dank
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

die Vektoren werden gebraucht, wenn die Schwerpunkte in der Ebene oder im Raum verteilt sind. z.B. hat ein Dreieck im Raum mit den Eckpunkten A B C hat der Schwerpunkt

das ist ein Ortsvektor, d.h der Punkt S hat dieselben Koordinaten.

die sind die Ortsvektoren zu den Schwerpunkten
mit denselben Koordinaten. Warum? nun Punkte kann man schlecht addieren.

Zur Frage: alle Schwerpunkte auf der Z-Achse, deshalb sind Vektoren nicht notwendig.
Die Höhe des Schwerpunktes des Flüssigkeitszylinders mit der Füllhöhe z ist z/2.

steht auch so als Faktor im 2. Summanden des Zählers...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke.

Was mir noch zum Verstehen gefehlt hat, war, dass es sich um Ortsvektoren handelt.
Hier sind natürlich keine Vektoren notwendig, da man ja nur die Höhenachse (Z) betrachtet.

Danke sehr.
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