Charakteristisches Polynom berechnen - ich werd bekloppt

05.07.2011, 18:49

Viktor Z.

Charakteristisches Polynom berechnen - ich werd bekloppt

Moin Leute,

ich versuche gerade verzweifelt das charakteristische Polynom der folgenden Matrix zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich rechne:

$\begin{eqnarray*} \chi_A = \left| \begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & x \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\right| = \left|\begin{pmatrix} x+1 & -2 & -2 \\ -1 & x & 0 \\ 0 & -1 & x \end{pmatrix}\right| = (x+1)\cdot x \cdot x -2 - 2x = x^3+x^2-2x-2 \end{eqnarray*}$

Es sollte aber:

$\begin{eqnarray*} -x^3-x^2+2x+2 \end{eqnarray*}$

rauskommen.

Sieht jemand den Fehler???

thx 4 help

05.07.2011, 18:57

chrizke

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Das ist so gesehen ja nicht falsch.
Deine Lösung unterscheidet sich von der vorgegebenen ja nur um Multiplikation mit -1. Und das ist zur Nullstellenberechnung ja völlig irrelevant.

Wie man auf die andere Lösung kommt:

Du hast gerechnet

$\begin{eqnarray*} \det(x\cdot Id - A) = p(x) \end{eqnarray*}$

Wenn du nun aber die Differenz in der Determinante vertauschst, erhältst du:

$\begin{eqnarray*} \det(A-x\cdot Id) = -1\cdot \det(x\cdot Id - A) = -1\cdot p(x) \end{eqnarray*}$

Normalerweise berechnet man das char. Poly auch über $\begin{eqnarray*} \det(A-x\cdot Id) \end{eqnarray*}$
ist aber wie schon gesagt, völlig egal bei der Eigenwertberechnung.

05.07.2011, 19:13

tmo

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Dazu mal eine kleine Anmerkung:

Zitat:

Original von chrizke
Normalerweise berechnet man das char. Poly auch über $\begin{eqnarray*} \det(A-x\cdot Id) \end{eqnarray*}$

In der Tat ist das sehr gebräuchlich. Das wundert mich aber sehr, denn eigentlich spricht alles für $\begin{eqnarray*} \det(x \cdot Id -A) \end{eqnarray*}$

Damit erzwingt man, dass das charakteristische Polynom normiert ist und alles ist viel schöner. Das Minimalpolynom ist ja auch das eindeutige normierte Polynom, dass den Kern des Einsetzhomomorphismus erzeugt.

Warum sollte man das char. Polynom also nicht zwangsweise normieren?

Schließlich hat man dann erst überhaupt die Chance, dass man unter Umständen sogar $\begin{eqnarray*} f_\alpha = m_\alpha \end{eqnarray*}$ erhält.

Irgendwelche Erklärungen hierzu?

05.07.2011, 19:40

chrizke

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Das ist schon richtig was du sagst. Eine vernünftige Erklärung habe ich dafür allerdings nicht.

Das Erzwingen ist allerdings nur dann nötig, wenn die Matrix eine ungerade Zeilen/Spalten Anzahl hat.
Im anderen Fall ist es ja egal.
Ich kann mir vorstellen, dass es oft anders rum gelehrt wird, da man da nicht so schnell ein Minus vergessen kann, wodurch es zu Fehlern kommt.
Ist aber wie gesagt nur eine Vermutung.

05.07.2011, 20:38

gonnabphd

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@tmo: Ich würde mal behaupten, dass die üblichere Version auch die natürlichere ist, wenn man sich an die Herleitung erinnert.

Man sucht Lösungen von $\begin{eqnarray*} Av = \lambda v \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (A-\lambda I)v = 0 \end{eqnarray*}$ . Daraus schliesst man, dass die Eigenwerte genau die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} \det(A-\lambda I) \end{eqnarray*}$ sind.

Ausserdem gibt es in den Aufgaben für gewöhnlich ein Bias, dass Einträge in Matrizen eher nichtnegativ sind. Das führt dazu, dass man viel mehr (-1)-en rumjonglieren muss, wenn man's so wie du machen will.

(Natürlich könnte man bei der Herleitung oben auch die linke Seite von der rechten abziehen, aber letztlich ist es ja eh' alles schnuppe Augenzwinkern

)

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