Dgl Y´´

06.07.2011, 13:08

desperatet

Dgl Y´´

Hallo,

ich habe eine andere Lösung als mein Dozent bekommen beim folgender aufabe und verstehe nicht wie er daauf kommt:

y´´= -1/x

Ich habe folgendes gemacht

y´= $\begin{eqnarray*} \int\! (-\frac{1}{x}) \, dx \end{eqnarray*}$ = -ln|x|+C
y´´= $\begin{eqnarray*} -\int\! (ln|x|+C \end{eqnarray*}$ = -x lnx-x +C1+Cx

er hat aber als Lösung:

-x ln|x|+cx+c2

woist das eine x hin? verwirrt

und wie gebe ich den Definitionsbereich für soetwas a? traurig

06.07.2011, 13:13

Equester

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Das war nur ein Schreibfehler von ihm. Die Lösung lautet wie du sagst:

y=-x ln|x|+cx+c2+x

06.07.2011, 13:20

René Gruber

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Zitat:

Original von desperatet
woist das eine x hin?

Dein $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist ein anderes $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ als das in der Musterlösung, was bei solchen Integrationskonstanten völlig legitim ist:

$\begin{eqnarray*} -x\ln(x)-x+C_1+Cx = -x\ln(x) + \underbrace{(C-1)}_{:=C_3}x + C_1 \end{eqnarray*}$

06.07.2011, 14:01

desperatet

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Zitat:

Original von René Gruber
$\begin{eqnarray*} -x\ln(x)-x+C_1+Cx = -x\ln(x) + \underbrace{(C-1)}_{:=C_3}x + C_1 \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich nicht ganz. Vielleich habe ich ein Fehler gemacht und die Fallunterscheidung nicht betrachtet?

Für

y= $\begin{eqnarray*} -\int\! (ln| x| +C) \, dx =-\int\! (ln| x|) \ + \int\! (C) \ = -( x*ln(x)-x+C_{1} +C*x )= -x ln(x)+x+C_{1} +C*x \end{eqnarray*}$

Er wiederum macht folgendes:

y= $\begin{eqnarray*} \int \! (-ln |x|+C_{1} ) \, dx =\left\{ \begin{pmatrix} -xlnx+x+C_{2}+C_{1}x \ x>0 \\ -xln(-x)+x+C_{2}+C_{1}x \x<0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

und daraus folgt bei ihm (und ich weiß nicht wie)= $\begin{eqnarray*} -xln|x|+C_{0}X+C_{2} \end{eqnarray*}$

Das macht mir nur im moment so viel aus, weil es auch AB´s gibt und die Werte werden sehr unterschiedlich, wenn ich es ausrechne. traurig

06.07.2011, 14:05

desperatet

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Entschuldige.Es sollte heißen,

er wiederum macht folgendes:

$\begin{eqnarray*} \int \! (-ln |x|+C_{1} ) \, dx =\left\{ \begin{pmatrix} -xlnx+x+C_{2}+C_{1}x \ x>0 \\ -xln(-x)+x+C_{2}+C_{1}x \ x<0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

06.07.2011, 14:09

René Gruber

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Ja, Ok, da war noch ein Vorzeichenfehler, den ich kritiklos übernommen hatte.

Aber das wesentliche hatte ich doch trotzdem schon angemerkt, im Lichte deines jetzigen Zitats

$\begin{eqnarray*} -x\ln|x|+x+C_2+C_1x = -x\ln|x| + \underbrace{(C_1+1)}_{:=C}x + C_2 \end{eqnarray*}$

Was ist daran denn unklar? verwirrt

06.07.2011, 14:26

desperatet

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Ich verstehe, dass du aus C1x+x=(c1+1)x gemacht hast und (c1+1) als c3 bezeichnest... Meine Frage ist jetzt... Kann ich so Integrieren wie ich es gemacht habe oder muss ich diese Fallunterscheidung machen wie der Dozent? Ist mein weg richtig? Ich habe "eiskalt" integriert...

Ansonsten (bis auf den Vorzeichenfehler, denn ich leider hin und wieder mache unglücklich

) bin ich mehr oder weniger zufrieden smile

Also: Darf ich ruhigen gewissens so rechnen wie ich es gemacht habe?
und kann ich beahupten der Definitonsbereich sei
$\begin{eqnarray*} \left(-\infty ,\infty \right) =\mathbb R \end{eqnarray*}$

Er wiederum schreibt:

$\begin{eqnarray*} D_{1}= \left(-\infty ,0\right) =\mathbb R ^{-} \\ D_{2}= \left( 0 ,\infty \right) =\mathbb R ^{+} \end{eqnarray*}$

06.07.2011, 14:43

René Gruber

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Womit er Recht hat: 0 gehört nicht dazu, die bildet gewissermaßen eine Barriere zwischen beiden Lösungszweigen.

D.h., wenn du z.B. ein zur DGL gehöriges AWP hast mit gegebenen $\begin{eqnarray*} y(x_0),y'(x_0) \end{eqnarray*}$ , dann kannst du diese Lösung

a) eindeutig auf $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ fortsetzen, wenn $\begin{eqnarray*} x_0>0 \end{eqnarray*}$ ist, oder

b) eindeutig auf $\begin{eqnarray*} (-\infty,0) \end{eqnarray*}$ fortsetzen, wenn $\begin{eqnarray*} x_0<0 \end{eqnarray*}$ ist.

"Drüber hinwegintegrieren" - wenn ich das mal salopp so sagen darf - bei der 0 geht nicht.

06.07.2011, 14:57

desperatet

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Mensch, ich hätte einfach über die Null hinweg gesehen unglücklich

Kannst du mir ein Tipp geben wie ich solche Fehler vermeide?

Was möchte er mit (*) verdeutlichen?

(*)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x lnx= \lim_{x \to 0} \frac{lnx}{1/x} =\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x} }{\frac{-1}{x^{2} } } = 0 \end{eqnarray*}$

06.07.2011, 20:07

Dopap

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Zitat:

Original von desperatet
...Er wiederum schreibt:
$\begin{eqnarray*} D_{1}= \left(-\infty ,0\right) =\mathbb R ^{-} \\ D_{2}= \left( 0 ,\infty \right) =\mathbb R ^{+} \end{eqnarray*}$

wenn du dich beim Dozenten beliebt machen willst, dann sag ihm doch, dass man diese Mengen seit geraumer Zeit nach DIN so schreibt:

$\begin{eqnarray*} D_{1}= \left(-\infty ,0\right) =\mathbb R_{-}^* \\ D_{2}= \left( 0 ,\infty \right) =\mathbb R_{+}^* \end{eqnarray*}$ Big Laugh

---------------------------------------

(*)
Ich nehme stark an, dass er die Regel von de l'Hopital verdeutlichen wollte.

07.07.2011, 08:15

René Gruber

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Zitat:

Original von Dopap
dass man diese Mengen seit geraumer Zeit nach DIN so schreibt:

$\begin{eqnarray*} D_{1}= \left(-\infty ,0\right) =\mathbb R_{-}^* \\ D_{2}= \left( 0 ,\infty \right) =\mathbb R_{+}^* \end{eqnarray*}$

Hab noch nie auch nur in Erwägung gezogen, dass es dafür eine DIN geben könnte. Wieder was gelernt, danke. Augenzwinkern

07.07.2011, 11:04

desperatet

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hehe Danke smile

Ihr seid Toll

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Dgl Y´´

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