Volumenintegral

06.07.2011, 19:27

Trojaner

Volumenintegral

Meine Frage:
Hey,

ich stehe vor folgendem Problem! Das Schnittvolumen von einem Zylinder und einer Halbkugel soll bestimmt werden.

Kugelgleichung: $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2\leq9 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z\geq0 \end{eqnarray*}$
Zylinder: $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\leq1 \end{eqnarray*}$

Mir gehts es dabei eigentlich nur um die Aufstellung des Volumenintegrals!

Meine Ideen:
folgende Parametrisierung habe ich aufgestellt:

x=r*cos(t)
y=r*sin(t)
z= $\begin{eqnarray*} \sqrt{9-r^2} \end{eqnarray*}$

wobei:
r= $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 2\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq r \leq 1 \end{eqnarray*}$

Wie sieht jetzt jedoch das Volumenelement dV im Integral aus? Bei "normalen" Zylinder Koordinaten ist dV=r dr dt dz... Bin etwas ratlos, würde mich sehr über eure Hilfe freuen!

07.07.2011, 10:39

Leopold

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Letzten Endes ist

$\begin{eqnarray*} z = f(x,y) = \sqrt{9 - \left( x^2 + y^2 \right)} \end{eqnarray*}$ (der Graph von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist die Halbkugeloberfläche)

über den Einheitskreis

$\begin{eqnarray*} E: \ x^2 + y^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$

zu integrieren:

$\begin{eqnarray*} V = \int_E f(x,y)~\dd (x,y) \end{eqnarray*}$

Und bei Polarkoordinaten

$\begin{eqnarray*} x = r \cos t \, , \ \ y = r \sin t \end{eqnarray*}$

geht $\begin{eqnarray*} \dd x \, \dd y \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} r ~ \dd r \, \dd t \end{eqnarray*}$ über.

07.07.2011, 14:10

Trojaner

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Danke dir für deine Antwort, damit kommt man tatsächlich auf das richtige Ergebnis! Was wäre denn in dem Fall, wenn aus der halbkugel eine Vollkugel wird. Also z praktisch $\begin{eqnarray*} \pm\sqrt{9-r^2} \end{eqnarray*}$ ist? Einfach das Ergebnis mal zwei nehmen, oder gibt es eine elegantere Lösung?

07.07.2011, 15:50

Leopold

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Zitat:

Original von Trojaner
oder gibt es eine elegantere Lösung?

Das ist die elegante Lösung. Sie ergibt sich auch ganz von alleine, wenn man, sobald $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$ vorgegeben ist, über die in Frage kommenden $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ integriert:

$\begin{eqnarray*} z^2 \leq 9 - \left( x^2 + y^2 \right) \ \ \Leftrightarrow \ \ - \sqrt{9 - \left( x^2 + y^2 \right)} \leq z \leq 9 - \left( x^2 + y^2 \right) \end{eqnarray*}$

Dann rechnet man:

$\begin{eqnarray*} V = \int \limits_{x^2 + y^2 \leq 1} \left( \ \int \limits_{- \sqrt{9 - \left( x^2 + y^2 \right)}}^{ \sqrt{9 - \left( x^2 + y^2 \right)}} \dd z \right)~\dd (x,y) \ = \ \int \limits_{x^2 + y^2 \leq 1} 2 \sqrt{9 - \left( x^2 + y^2 \right)}~\dd (x,y) \end{eqnarray*}$

Und da hast du die 2.

07.07.2011, 15:53

Trojaner

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Okay, dann wär alles geklärt! Danke dir für deine Hilfe, hat mir sehr geholfen!

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