Integralrechnung mit einer Konstanten

06.07.2011, 19:32

Patricia1991

Integralrechnung mit einer Konstanten

Meine Frage:
Ich habe folgendes Integral gegeben:
$\begin{eqnarray*} \int_1^2 \! \frac{a}{x}*e^{a*ln(x)} \, dx =3 \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie alle a, für die diese Gleichung gilt!

Meine Ideen:
Also ich weiß irgendwie garnicht wie ich da vorgesehen soll, weil ich zwei Variablen in der Funktion habe ( das verwirrt mich immer auf den ersten Blick).

Muss ich das erstmal als a mit konstante partiell aufleiten?

Würde mich über Hilfe freuen smile

06.07.2011, 19:55

Cel

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Aufleiten? Das Wort gibt es nicht, gewöhn dir das am besten mal ab. Augenzwinkern

Ja, die linke Seite kannst du konkret ausrechnen, partiell integrieren musst du nicht, eine Stammfunktion kannst du sofort angeben (guck dir dazu mal die innere Ableitung von der e-Funktion an).

06.07.2011, 20:14

Patricia1991

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Also wenn ich die Linke Seite integriere, dann ist ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} *a \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} F(x)= ln(x)*a \end{eqnarray*}$ oder?

06.07.2011, 20:19

Patricia1991

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Also die Lösung sagt:

$\begin{eqnarray*} \int_1^2 \! \frac{a}{x} * x^{a} \, dx \end{eqnarray*}$

Die innere Ableitung der e Funktion ist ja a/x
Allerdings verstehe ich jetzt nicht, wieso man beim integrieren plötzlich ableitet?

06.07.2011, 20:31

Cel

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Ja, das ist natürlich auch eine Möglichkeit. Dort wird dann eines der Potenzgesetze genutzt. Jetzt nutzt du noch mal eines und kannst das x kürzen.

06.07.2011, 20:40

Patricia1991

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Ich verstehe nur nicht, wie man auf diese Lösung kommt... die ist mir zwar vorgegeben, aber das bringt mir ja beim Lernen auch nicht viel. Ich würde gerne den Rechenweg verstehen.

Also wieso leite ich hier das innere der e-Funktion eigentlich ab? Ich muss doch integrieren?

Verstehe diese ganze Funktion irgendwie garnicht

06.07.2011, 20:45

Cel

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Du leitest gar nicht ab, es gibt hier zwei Vorgehensweisen, meine und die der Lösung:

Ich habe vorgeschlagen, eine Substitution durchzuführen. Das habe ich deshalb vorgeschlagen, weil die innere Ableitung der e-Funktion dabeisteht.

Die Lösung benutzt Potenzregeln, um zu vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} e^{a \cdot \ln(x)} = e^{\ln(x)^a} = x^a \end{eqnarray*}$

06.07.2011, 20:50

Patricia1991

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Ich könnte das Integral auch zerlegen, vielleicht fällt es mir dann leichter:

$\begin{eqnarray*} \int_1^2 \! \frac{a}{x} \, dx + \int_1^2 \! e^{a*ln(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann diese Teilintegrale seperat integriere komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \left[a*ln(x)\right] \end{eqnarray*}$ und beim 2. Teilintegral weiß ich nicht, wie ich das integrieren müsste.
Also die e-Funktion an sich bleibt ja bestehen, nur das innere wie berücksichtige ich das??

Danke für deine Bemühungen smile

06.07.2011, 20:52

Patricia1991

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Ah okay danke, also müsste ich, wie du schon sagstest, mein 2. Teilintegral mit der Substitution auflösen?

06.07.2011, 21:03

Cel

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Zitat:

Original von Patricia1991
Ich könnte das Integral auch zerlegen, vielleicht fällt es mir dann leichter:

$\begin{eqnarray*} \int_1^2 \! \frac{a}{x} \, dx + \int_1^2 \! e^{a*ln(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

Nein!! Das darfst du nicht. Zwischen den Funktionen steht ein Mal, kein Plus. Das darfst du auf keinen Fall tun.

Was du jetzt machen kannst, hab ich dir schon gesagt. Mach es am besten so, wie in der Lösung beschrieben. Die Umformung hab ich dir ja auch schon gezeigt.

06.07.2011, 21:12

Patricia1991

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Okay danke ;-)

Dann werde ich es einfach so mit dem Potenzgesetz machen ;-)

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