Nebenklasse Definition

06.07.2011, 22:29

Pascal95

Nebenklasse Definition

Hallo,

hier fand ich folgende Definition einer (Rechts)-Nebenklasse:

Zitat:

Die Nebenklasse von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ zum Element $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist die Menge, die durch Verknüpfung von einer festen Seite aller Elemente aus $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ entsteht. Die Rechtsnebenklasse von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} Ha=\{h\circ a\mid h\in H \} \end{eqnarray*}$ .

Nun frage ich mich, was für Eigenschaften für " $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ " gelten müssen...

Schließlich könnte es sein, dass $\begin{eqnarray*} h\circ a \end{eqnarray*}$ für gewisse $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist. Hier greift die Abgeschlossenheit bzgl. der Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ wohl auch nicht, da es nicht erwartet war, dass $\begin{eqnarray*} a\in H \end{eqnarray*}$ .

Ist diese o.g. Definition gebräuchlich?
Woanders fand ich eine, die mit einer Untergruppe von H argumentierte (?)

Vielen Dank

06.07.2011, 22:32

kiste

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Die Verknüpfung kommt doch von einer Gruppe G. H ist eine Untergruppe von G, und a ein Element aus G. Die Verknüpfung ist also definiert weil sie von G kommt.

06.07.2011, 22:39

Pascal95

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Aha, von einer Untergruppe wurde im vorhin genannte Link gar nicht gesprochen...
Mich haben die (für mich im ersten Moment völlig verschieden klingenden) Definition schon verwirrt, da ich den Zusammenhang nicht erkannte.

Zitat:

Es ist also $\begin{eqnarray*} \left(G, \circ\right)~\text{Gruppe},\ \ H\subseteq G~\text{Untergruppe von}~G,\ \ a\in G \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} Ha=\{h\circ a\mid h\in H \} \end{eqnarray*}$ die Rechtsnebenklasse von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .
Und $\begin{eqnarray*} aH=\{a\circ h\mid h\in H \} \end{eqnarray*}$ die Linksnebenklasse von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Ist das so richtig?

07.07.2011, 05:58

kiste

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Ja stimmt so. Und das nicht alles vollständig dasteht hast du dir wohl selbst zuzuschreiben. Man lernt nicht aus einem Glossar die Definitionen Augenzwinkern

07.07.2011, 12:45

Pascal95

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Ok, danke sehr.

Leider habe ich zunächst nichts besseres gefunden.

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