Automorphismengruppe endlicher Körper

07.07.2011, 05:25

tigerbine

Automorphismengruppe endlicher Körper

Hallo,

frage mich gerade ob die folgenden Sachen identisch sind oder nicht. Es steht im Skript:

$\begin{eqnarray*} Aut (\mathbb F_{p^n}) \end{eqnarray*}$ ist zyklisch von der Ordnung n und wird von Frobenius-Automorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi: a \mapsto a^p \end{eqnarray*}$ erzeugt.

Wie sieht nun die Galoisgruppe

$\begin{eqnarray*} Aut (\mathbb F_{q^n}|\mathbb F_{q}) \end{eqnarray*}$ aus. Dort steht sie sei zyklisch und von $\begin{eqnarray*} \varphi: a \mapsto a^q \end{eqnarray*}$ erzeugt. Gilt dann

$\begin{eqnarray*} Aut (\mathbb F_{q^n}|\mathbb F_{q}) = Aut (\mathbb F_{q^n}) \end{eqnarray*}$

oder ist es eine Untergruppe? Laut Definition der Automorphismengruppe einer Körpererweiterung ist ja

$\begin{eqnarray*} Aut (\mathbb F_{q^n}|\mathbb F_{q}) =\{\alpha \in Aut(\mathbb F_{q^n})~|~\alpha_{|\mathbb F_{q}} = id_{|\mathbb F_{q}}\} \end{eqnarray*}$

Müßte ich mich also Fragen, was der Erzeuger von $\begin{eqnarray*} Aut (\mathbb F_{q^n}) \end{eqnarray*}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{q} \end{eqnarray*}$ macht. So richtig vorstellen kann ich es mir nicht. Beispiel

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_{9}=? \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{3}=\{\overline 0, \overline 1, \overline 2\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi: a \mapsto a^3 \end{eqnarray*}$

Kann ich den größeren überhaupt mit Restklassen schreiben oder muss ich da mit so einer Faktordarstellung über ein Minimalpolynom ran?

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_{9}=\mathbb F_3/(x^2+1)\mathbb F_3[x] \end{eqnarray*}$

Da drin wären dann "Polynome" und $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{3}=\{\overline 0, \overline 1, \overline 2\} \end{eqnarray*}$ interpretiere ich als konstante Funktionen? Setze ich die nun in den Frobeniusauto ein, so rechne ich aber modulo 3, nicht 9. Dann würde der Erzeuger der Identitätsfoerung genügen und es würde gelten

$\begin{eqnarray*} Aut (\mathbb F_{9}|\mathbb F_{3}) = Aut (\mathbb F_{3^2}) \cong C_2 \end{eqnarray*}$

07.07.2011, 14:20

Reksilat

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RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Hi tigerbine, Wink

Kurze Antwort:

Zitat:

Gilt dann
$\begin{eqnarray*} Aut (\mathbb F_{q^n}|\mathbb F_{q}) = Aut (\mathbb F_{q^n}) \end{eqnarray*}$
oder ist es eine Untergruppe?

Es gilt die Gleichheit. Jeder Automorphismus von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{q^n} \end{eqnarray*}$ lässt ja insbesondere die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ fest und somit auch $\begin{eqnarray*} 1+1,1+1+1,1+1+1+1,... \end{eqnarray*}$ - also alle Elemente des Primkörpers $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_q \end{eqnarray*}$ .

Jedenfalls solange $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ prim ist.

Gruß,
Reksilat.

07.07.2011, 15:16

tigerbine

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RE: Automorphismengruppe endlicher Körper

Zitat:

Original von Reksilat
Jedenfalls solange $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ prim ist.

Gruß,
Reksilat.

Könnte q auch ne p-Potenz sein?

07.07.2011, 15:22

Reksilat

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RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Nein, angenommen $\begin{eqnarray*} q=p^2 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ prim.

Die Automorphismengruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{p^4} \end{eqnarray*}$ wird von $\begin{eqnarray*} \varphi: a \mapsto a^p \end{eqnarray*}$ erzeugt.
Auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{p^2} \end{eqnarray*}$ ist dieser Automorphismus aber nicht trivial. Also ist $\begin{eqnarray*} \varphi\not\in Aut (\mathbb F_{p^4}|\mathbb F_{p^2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Aut (\mathbb F_{p^4}|\mathbb F_{p^2}) \neq Aut (\mathbb F_{p^4}) \end{eqnarray*}$

07.07.2011, 15:28

tigerbine

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RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Ist die Gruppe dennoch zyklisch?

07.07.2011, 15:29

Reksilat

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RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Ja klar, sie wird von $\begin{eqnarray*} \varphi^2 \end{eqnarray*}$ erzeugt. Augenzwinkern

07.07.2011, 15:39

tigerbine

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RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Also. Sei nun mal $\begin{eqnarray*} q=p^k \end{eqnarray*}$ und p sei prim. Nun betrachten wir die Erweiterung $\begin{eqnarray*} F_{q^n}|\mathbb F_{q} \end{eqnarray*}$ .

1. Frage: Ist $\begin{eqnarray*} F_{q^n} \end{eqnarray*}$ der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} x^{q^n}-x \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{q} \end{eqnarray*}$

2. Frage: Wird $\begin{eqnarray*} Aut(\mathbb F_{q^n}|\mathbb F_{q}) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \phi_k:a \mapsto a^q = a^{p^k} \end{eqnarray*}$ erzeugt? Ist $\begin{eqnarray*} \phi_k=(\phi)^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi: a \mapsto a^p \end{eqnarray*}$

Danke für deine schnellen Antworten.

07.07.2011, 15:42

Reksilat

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RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Zweimal ja.

07.07.2011, 15:46

tigerbine

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RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Mit Zunge

Danke dir für das $\begin{eqnarray*} \checkmark \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \checkmark \end{eqnarray*}$

08.07.2011, 04:58

tigerbine

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RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Anschlussfrage. Wie hängt denn

$\begin{eqnarray*} F_{q^k} \end{eqnarray*}$ ist der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} x^{q^k}-x \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{q} \end{eqnarray*}$

und die Kreisteilungskörper über endlichen Körpern zusammen?

$\begin{eqnarray*} K_n \end{eqnarray*}$ als Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} x^n-1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$

Nehmen wir mal an, $\begin{eqnarray*} K=\mathbb F_p \end{eqnarray*}$ . Was kann man dann über die Erweiterung $\begin{eqnarray*} K_n|K \end{eqnarray*}$ aussagen? Der Zerfällungskörper hat dann doch als Elementenzahl eine Potenz von p. Dann müßte man die doch irgendwie miteinander identifizieren können... verwirrt

Was passiert eigentlich, wenn die Charakteristik von K die Potenz n teilt. Ist die Körpererweiterung dann trivial. Also $\begin{eqnarray*} K_n=K \end{eqnarray*}$ und der Fall ist "uninteressant"?

08.07.2011, 11:02

Reksilat

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RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Du musst für den ZFK von $\begin{eqnarray*} x^n-1 \end{eqnarray*}$ halt den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{p^k} \end{eqnarray*}$ finden, der alle Nullstellen enthält. Dazu muss $\begin{eqnarray*} n|p^k-1 \end{eqnarray*}$ gelten, denn dann gilt $\begin{eqnarray*} x^n-1|x^{p^k-1}-1 \end{eqnarray*}$ .
Letztlich rechnest Du also die Ordnung von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ modulo $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus.

OBdA kann man $\begin{eqnarray*} {\rm ggT}(n,p)=1 \end{eqnarray*}$ annehmen, denn wie man sieht ist $\begin{eqnarray*} x^p-1=(x-1)^p \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p[x] \end{eqnarray*}$ . Der ZFK von $\begin{eqnarray*} x^p-1 \end{eqnarray*}$ ist also in der Tat wieder der Primkörper und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Potenzen im Exponenten spielen keine Rolle.

Gruß,
Reksilat.

08.07.2011, 16:56

tigerbine

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RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Nehmen wir man $\begin{eqnarray*} x^4-1 \end{eqnarray*}$ und interessieren uns für den Zerfällungskörper über $\begin{eqnarray*} K:=\mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ . Zunächst mal muss das zug. Kreistilungspolynom bestimmen. Das macht man über Q und rechnet dann modulo.

$\begin{eqnarray*} \Phi_4=x^2+1 \end{eqnarray*}$

1. Sätze über Einheitswurzeln
Untersuchen, ob $\begin{eqnarray*} \Phi_4=x^2+1 \end{eqnarray*}$ irreduzibel über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist. Ja.

$\begin{eqnarray*} [K_4:K]=2 \end{eqnarray*}$

Die Erweiterung ist galoisch und die Galoisgruppe ist zyklisch. [generell, für char(K) nicht 0 und teilerfremd zu n]
$\begin{eqnarray*} Aut(K_4|K)\cong \mathbb Z_4^{\times} \cong C_2 \end{eqnarray*}$

Wie sieht $\begin{eqnarray*} K_4 \end{eqnarray*}$ aus?

2. Körpererweiterungen bei endlichen Körpern
Die Erweitunerungskörper sind vom Typ $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{3^{k}} \end{eqnarray*}$ . Welches k ist nun das richtige für $\begin{eqnarray*} K_4 \end{eqnarray*}$ ?

Es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{3^{k}} \end{eqnarray*}$ der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} x^{3^k}-x=x(x^{3^k-1}-1) \end{eqnarray*}$ .
[Warum schreibt man eigentlich nicht Zerfällungkörper von $\begin{eqnarray*} x^{3^k-1}-1 \end{eqnarray*}$ ? Optik oder übersehe ich was?]

Es muss gelten $\begin{eqnarray*} x^4-1|x^{3^k-1}-1 \end{eqnarray*}$ damit es in LF zerfällt. Wie sieht es mit der Minimalforderung [des Zerfällungskörpers] aus? Ist k eindeutig bestimmbar?

Für k=1 nicht erfüllt, für k=2 erfüllt. [Minimial]

code:
1:	x^8-1= (x-1)(x+1)(x^2+1)*(x^4+1)

Damit müßte $\begin{eqnarray*} K_2=\mathbb F_{3^2} \end{eqnarray*}$ sein. Es ist $\begin{eqnarray*} [\mathbb F_{3^2}:\mathbb F_{3}]=2 \end{eqnarray*}$ und hier ist die Automorphismengruppe der Körpererweiterung immer zyklisch und vom FrobeniusAutomorphismus $\begin{eqnarray*} a \mapsto a^p \end{eqnarray*}$ erzeugt. $\begin{eqnarray*} Aut(\mathbb F_{3^2}|\mathbb F_{3}) \cong C_2 \end{eqnarray*}$

Somit liefern beide Blickwinkel identische Ergebnisse.

09.07.2011, 18:53

tigerbine

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RE: Automorphismengruppe endlicher Körper

Zitat:

Wie sieht $\begin{eqnarray*} K_4 \end{eqnarray*}$ aus?

Hätte ich an der Stelle, wegen $\begin{eqnarray*} [K_4:K]=2 \end{eqnarray*}$ schon sagen können $\begin{eqnarray*} K_4 \cong \mathbb F_{3^2} \end{eqnarray*}$

10.07.2011, 10:52

Reksilat

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RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Ja, die endlichen Körper sind bis auf Isomorphie eindeutig durch ihre Ordnung bestimmt.

Gruß,
Reksilat.

10.07.2011, 16:21

tigerbine

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RE: Automorphismengruppe endlicher Körper
Super. Danke.

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