RE: 1.) Einleitung und Definition - Seite 2

03.01.2012, 21:11

Lampe16

Auch wenn dieses Thema schon viele Jahre ruht, möchte ich noch einen Beitrag nachliefern. Ich habe die Erfahrung gemacht, dass auch alte Matheboard-Threads immer mal wieder angeschaut werden und nützlich sind.

Für die Quadratwurzelfunktion (ab hier einfach Wurzel) $\begin{eqnarray*} \sqrt z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z=|z|\mathrm e^{i\varphi} \end{eqnarray*}$ im Körper der komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist m. E. folgende Version quasi als Standard akzeptiert:

Die Quadratwurzel wird mit $\begin{eqnarray*} \sqrt z=\sqrt{|z|}\mathrm e^{j\frac{\varphi}{2}} \end{eqnarray*}$ berechnet.

Dabei ist für das Argument $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ der Phasenhauptwert zu wählen, was bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} -\pi<\varphi \le \pi \end{eqnarray*}$ erfüllt ist und der Verzweigungsschnitt auf $\begin{eqnarray*} \varphi_0=-\pi \end{eqnarray*}$ liegt. Einen anderen Verzweigungsschnitt müsste man ausdrücklich dokumentieren und begründen.

Zwei Beispiele für reelle Radikanden: $\begin{eqnarray*} \sqrt{4}=+2,\; \sqrt{-9}=+3i \end{eqnarray*}$ .

Das Rechenverfahren ist in der ganzen komplexen Ebene gleich und schließt zwanglos an das im Reellen gewohnte an.

Die Quadratwurzel(funktion) $\begin{eqnarray*} \sqrt{z} \end{eqnarray*}$ hat für jedes $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ genau einen Wert, die Gl. $\begin{eqnarray*} w^2=z \end{eqnarray*}$ dagegen immer zwei Lösungen für $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ , wobei im Fall $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ die Null als doppelte Lösung zählt.

(Edit: Man könnte die Irritationen um das Wurzelzeichen sehr leicht dadurch beseitigen, dass man es nur im Sinne eines Funktionsnamens verwendet und als Hauptwurzel (principal root) bezeichnet. Dann sollte niemand mehr sagen können, $\begin{eqnarray*} \sqrt z \end{eqnarray*}$ stehe für zwei Werte.)

24.03.2013, 08:35

Lampe16

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Und voller Schrecken habe ich festgestellt, daß auch meine Formel falsch ist. Ich berichtige deshalb:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+iy}=\pm\left(\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{x^2+y^2}+x\right)}+i \cdot s\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)}\right) \end{eqnarray*}$

wobei s folgendermaßen zu wählen ist:
falls y>0: s=1
falls y<0: s=-1
falls y=0 und x>=0: s=irgendwas
falls y=0 und x<0: s=1 (oder s=-1)

Rechne das bitte einmal nach, ob es jetzt stimmt ...

Wenn man die Formel auf den Fall y=0 bei x>=0 anwendet, ergibt sich $\begin{eqnarray*} \sqrt x=\pm\sqrt x. \end{eqnarray*}$

Das sieht, vorsichtig gesagt, verwirrend aus. Ich versuche mal eine Reparatur:

Mit der Formel
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+iy}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{x^2+y^2}+x\right)}+i \cdot s\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s(y< 0)=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s(y\geq 0)=1 \end{eqnarray*}$
erhält man den Hauptzweig von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+iy}. \end{eqnarray*}$
Im beanstandeten Fall ergibt sich $\begin{eqnarray*} \sqrt x= \sqrt x. \end{eqnarray*}$ .
So verwandelt sich das Wurzelsymbol von einem Chamäleon in das Zeichen für eine Funktion. Das formale Problem ist verschwunden.

24.03.2013, 10:58

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Du löst eine andere Aufgabe als ich.

1. Mir ging es darum, die Lösungen $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ der Gleichung $\begin{eqnarray*} w^2 = z \end{eqnarray*}$ anzugeben. Und da gibt es eben nicht nur eine, sondern zwei. Deshalb das Plus-Minus-Symbol auf der rechten Seite. Wie man diese Formel lesen muß, dazu habe ich in den Beiträgen, aus denen du mein Zitat gerissen hast, ausführlich Stellung genommen.

2. Dir dagegen scheint es darum zu gehen, im Komplexen eine eindeutige Wurzelfunktion zu definieren. Da kann man das so, wie von dir vorgeschlagen, machen. Für viele Anwendungen ist dieser Hauptzweig auch passend. Aber für viele andere eben nicht. Und dann ist genau diese eindeutige Festlegung störend. Irgendwann muß es jeder einmal akzeptieren: Es ist nicht möglich, im Komplexen in natürlicher Weise eine stetige Wurzelfunktion zu definieren. Deine Wahl führt übrigens auch zu einer unstetigen Funktion. Erst wenn du die negativen reellen Zahlen wegläßt, wird deine Funktion stetig. Dann hast du die Wurzelfunktion aber genau für diejenigen Zahlen nicht definiert, wegen derer die komplexen Zahlen einmal erfunden wurden.

24.03.2013, 11:57

Lampe16

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,
Deinen Kommentaren 1 und 2 stimme ich zu. Und die Freiheit, den Verzweigungsschnitt anders als bei $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ anzuordnen, möchte ich auch niemandem rauben.

Ich plädiere dafür, das Wurzelsymbol als Namen der Funktion zu verstehen, für die der Verzweigungsschnitt bei $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ liegt. Dann hat man ein eindeutiges Werkzeug. Wer den Schnitt woanders anbringt, sollte eine andere Notation verwenden.

« vorherige Seite 12

Neue Frage »

Antworten »

RE: 1.) Einleitung und Definition - Seite 2

Verwandte Themen