RE: 1.) Einleitung und Definition

25.06.2004, 19:10

Mathespezialschüler

RE: 1.) Einleitung und Definition

Zitat:

Original von Guevara

$\begin{eqnarray*} i^2+1 = -1 \end{eqnarray*}$ das heißt $\begin{eqnarray*} i = \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$

Du meinst wohl

$\begin{eqnarray*} i^2+1 = 0 \end{eqnarray*}$

!!!!!

Gleich bei der Definition ein Fehler, na das kann ja was werden. *g* (ironisch, also nicht böse gemeint! Augenzwinkern

)

25.06.2004, 19:22

Guevara

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Danke Mathespezialschüler, es ist ok wenndu fehler meldest.

25.06.2004, 20:30

Irrlicht

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Der lange Absatz unten ist nur was Geschichtliches, nicht schaudern! Augenzwinkern

Ich hab ein paar Anmerkungen für dich, vielleicht kannst du sie ja verwenden:

Zitat:

Original von Guevara
1.) Einleitung und Definition
[...]Deshalb benötigt man die Zahl i.

Die komplexen Zahlen wurden nicht eingeführt, damit quadratische Gleichungen immer eine Lösung haben. Die quadratische Gleichung x^2 = mx + n hat als reelle Lösungen die x-Komponenten der Schnittpunkte der Parabel y = x^2 mit der Geraden y = mx + n. Diese Schnittpunkte waren gesucht. Bereits vor 4000 Jahren wusste man, wie man diese quadratische Gleichung löst (mit einem Verfahren, das der pq-Formel äquivalent ist). Wenn der Ausdruck unter der Wurzel dieser Lösungsformel negativ ist, dann gibt es keine Schnittpunkte. Alles, was dann noch als "Lösungen" berechenbar wäre, wäre nicht Lösung des geometrischen Problems. Aus diesem Grund hat Cardano im 16. Jahrhundert nicht gezögert diese "Lösungen" als nutzlos abzutun.

Eine ernsthafte Beschäftigung mit komplexen Zahlen wurde erst erforderlich, als man sich mit kubischen Gleichungen beschäftigte. Die Gleichung
x^3 = 3px + 2q
hat immer eine reelle Lösung. Geometrisch ist sie der Schnittpunkt der kubischen Parabel y = x^3 mit der Geraden y = 3px + 2q. Cardano zeigte, dass diese Gleichung mithilfe folgender Formel gelöst werden kann:
$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{q+\sqrt{q^2-p^3}} + \sqrt[3]{q-\sqrt{q^2-p^3}} \end{eqnarray*}$
Etwa 30 Jahre nach Bekanntwerden dieser Formel erkannte Bombelli, dass diese Formel komplexe Zahlen enthält, wenn p^3 grösser als q^2 ist. Trotzdem führt diese Formel auf eine reelle Lösung. Bombelli betrachtete die Gleichung x^3 = 15x + 4, was auf die Lösung
$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{2+11i} + \sqrt[3]{2-11i} \end{eqnarray*}$
führte. Diese Lösung enthält komplexe Zahlen aber sie ist reell!

Im Falle einer quadratischen Gleichung signalisiert ein negativer Radikant unter der Quadratwurzel, dass die Gleichung keine reelle Lösung hat. Aber die kubische Gleichung hat immer eine reelle Lösung. Obige kubische Gleichung hat die Lösung x = 4. Bombelli begann mit dem Gedanken zu spielen, dass man mit diesen "Zahlen" rechnen kann (das i war zu der Zeit schon bekannt, wurde aber nicht weiter beachtet). Bombelli führte formale Rechenregeln ein mit denen er tatsächlich (2 + i)^3 = 2 + 11i und (2 - i)^3 = 2 - 11i fand. Die obige Lösungsformel lieferte also tatsächlich das richtige Ergebnis.

Während komplexe Zahlen selbst mysteriös blieben, zeigte Bombellis Arbeit, dass rein reelle Probleme manchmal nur mithilfe komplexer Zahlen gelöst werden können.
(Sinngemäss übernommen aus: T. Needham, Anschauliche Funktionentheorie)

Zitat:

[...] Jeder der etwas von Mathematik versteht, [...]

Das klingt, als ob jemand der komplexe Zahlen noch nicht kennt, nichts von Mathematik versteht. Würd ich ändern.

Zitat:

Addiert man zu bi die Zahl a, erhält man Z=(a+bi). Da man reelle Zahlen nicht zu imaginäre Zahlen addieren kann, nennt man diese Zahl "komplexe Zahl".

Offenbar kann man aber reelle und imaginäre Zahlen durchaus addieren, oder was sonst bedeutet die Schreibweise "a+bi"?

Zitat:

"a" nennt man real Teil, "bi" heißt imaginär teil. C bedeutet Menge aller komplexen Zahlen.

a nennt man Realteil, b heißt Imaginärteil. C ist die Menge aller komplexen Zahlen.

25.06.2004, 21:02

Mathespezialschüler

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Warum ist das eigentlich Höhere Mathematik?? verwirrt

Ich bekomms schon in der 11. (ich weiß nich, wie es bei anderen war).

25.06.2004, 21:12

Irrlicht

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SirJective zum Beispiel hatte komplexe Zahlen in der Schule noch nicht, erst in der Uni. Unser halber Hörsaal der Vorlesung Funktionentheorie hatte das auch nicht in der Schule.
Ist das mittlerweile fest in den Lehrplan aufgenommen?

Lassen wir es also erstmal hier. Verschieben kann man es ja immer noch. smile

25.06.2004, 21:13

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Irrlicht
Ist das mittlerweile fest in den Lehrplan aufgenommen?

Ich glaub nicht! Kann sein, dass es nur ist, weil ich in den Mathespezialkurs gehe. :P

25.06.2004, 21:17

Mazze

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Komplexe Zahlen werden normal in Mathematik leitunskursen an einem durschnittsgymnasium behandelt.(Ich weiß das es bei uns so war und wir warn sicher nicht elite :>) ich hatte keinen Leitunskurs, entsprechend hab ich die dinger erst im Studium kennen gelernt.

Zumindest was die definition anbelangt sind die komplexen zahlen an sich nicht wirklich "höhere Mathematik" wohl eher das was man mit ihnen macht (siehe potenzreihe, komplexe exponentialfunktion etc.)

25.06.2004, 21:23

Mathespezialschüler

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Also ich hab mal nachgeguckt: Rahmenplan für Berlin:

11. Klasse Profilkurs,
1. Halbjahr: 30 Stunden Komplexe Zahlen (also das ganze erste Halbjahr)
2. Halbjahr: 15 Stunden Vollständige Induktion und 15 Stunden Wahlthema

Also doch schon für den "normalen Profilkursler". Allerdings glaub ich nich, dass in den 30 Stunden alles kommen kann, was Mazze beschrieben hat und was man sonst noch so mit den komplexen Zahlen anfangen kann.

edit: Was zusätzlich zu der Definition (trigonometrische Darstellung mit eingeschlossen) noch dazu kommt:

1. Potenzen einer komplexen Zahl in Polarform

$\begin{eqnarray*} (r \cdot (\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) )^n = r^n \cdot ( \cos(n \cdot \phi) + i \cdot \sin(n \cdot \phi) ) \end{eqnarray*}$

(PS: Wie geht das kleine phi???)

Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^n = a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ über die Grundmenge C. Einheitswurzeln und Kreisteilung.

Empfohlene Ergänzung:
Ausblick auf den Fundamentalsatz der Algebra.

25.06.2004, 21:24

Irrlicht

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Ich hab die Diskussion mal von eigentlichen Workshop getrennt - der Übersicht halber und damit guevara nicht lauter Zwischenpostings in dem Workshop hat. *g* smile

25.06.2004, 21:58

hummma

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In Bayern kommen sie nur fuer den Mathematischen Zweig in der 11. tran. Sie stehen aber nicht im lehrplan. Das kann der Lehrer selbst entscheiden was er macht, weil wir in der 11. Klasse 5. Stunden mathe haben und die neusprachler aber nur 3 und wir am ende des jahres des gleihe koennen muessen. Der Lehrer kann aber zB. auch sphärische Trigonomitrie wählen oder Infinitesimalrechnung einfach intensiever machen.

25.06.2004, 22:05

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von hummma
In Bayern kommen sie nur fuer den Mathematischen Zweig in der 11. tran.
...
oder Infinitesimalrechnung einfach intensiever machen.

Das hieße ja, dass man Integralrechnung da schon in der 11.-ten hat???? verwirrt

25.06.2004, 22:10

hummma

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ne nur einfache Infinitesimalrechnung wie Grenzwerte, Extrema, Wendepunkte bestimmen.

25.06.2004, 22:13

Mathespezialschüler

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Ich dachte immer, Infinitesimalrechnung sei ein Überbegriff für Differential- und Integralrechnung (hab ich mal gelesen). verwirrt

26.06.2004, 18:27

Guevara

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Ich kann die nächste woche nicht viel am Workshop arbeiten denn ich hab jetzt noch ein paar mündliche Prüfungen. Auserdem ist das Wetter zu gut um am PC zu sitzen. Es kann aber von mir aus jeder am Workshop mitarbeiten solange ihr was sinnvolles schreibt.

26.06.2004, 20:03

hummma

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Differentialrechnung hat doch bestimmt mit Ableiten und damit mit Extrema usw. bestimmen zu tuen. Integral machen wir halt nicht. Wir machen aber ganz sicher infinitesimalrechnung weil unser buch so heisst

26.06.2004, 22:41

Poff

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
...
1. Potenzen einer komplexen Zahl in Polarform

$\begin{eqnarray*} ( r \cdot \cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi) )^n = r^n \cdot ( \cos(n \cdot \phi) + i \cdot \sin(n \cdot \phi) ) \end{eqnarray*}$
...

... Fehler in der Formel, links vom Gleichheitszeichen . Augenzwinkern

Zitat:

Ich dachte immer, Infinitesimalrechnung sei ein Überbegriff für Differential- und Integralrechnung (hab ich mal gelesen).

richtig
... und das passt doch auch .... :-oo

smile

26.06.2004, 23:25

JudgeNot

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Frage
Wie ist eigentlich die Wurzel aus -i definiert?

btw:
Wir haben imaginäre Zahlen schon in der 6. behandelt. Ist bei uns (Österreich) im Lehrplan auch so vorgesehen.
Hätte nicht gedacht, dass es da so große Unterschiede gibt verwirrt

27.06.2004, 00:31

hummma

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Des is eine einfache Kreisteilungsgleichung:
$\begin{eqnarray*} z^2 = -i = E(270) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_1 = E(315) \ ; \ z_2 = E(135) \end{eqnarray*}$

13.07.2004, 11:32

Gast

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Ist das richtig mit der Resupstitution? Muss da nicht stehen x1 = y1 +a/3.

13.07.2004, 11:42

Guevara

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Nein, ich hab x durch y-a/3 Substituiert. Also x=y-a/3.

13.07.2004, 16:13

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Poff

Zitat:

... Feler in der Formel, links vom Gleichheitszeichen . Augenzwinkern

Ich habs nur abgeschrieben. Ich wollt nur zeigen, was im Rahmenplan schon alles so enthalten ist, aber es steht wirklich so da! Ich kanns ja sowieso noch nicht. Kannst mir ja sagen, was ich editieren soll. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Poff

Zitat:

Ich dachte immer, Infinitesimalrechnung sei ein Überbegriff für Differential- und Integralrechnung (hab ich mal gelesen).

richtig
... und das passt doch auch .... :-oo

smile

Also gehören z.B. Grenzwerte oder Stetigkeit oder Ähnliches nich dazu? Wirklich nur Differential- und Integralrechnung?? hummma hats ja anders gesagt.

20.07.2004, 01:59

Mathespezialschüler

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Hi,
also jetz kommen von mir mal wirkliche Fragen zum Workshop :P :

Thema: Kubische Gleichungen, Cardanische Formeln

Hab mich mal damit beschäftigt und es sind einige Fragen aufgetreten:

1. Bei $\begin{eqnarray*} y = u + v \end{eqnarray*}$ wurde da einfach gesagt, y lässt sich als Summe zweier Zahlen beschreiben oder warum darf man das so machen?

2.

Zitat:

Original von Guevara
3.)
Um an u^3 und an v^3 zu kommen benutzt man die pq-Formel.

$\begin{eqnarray*} u^3=-\frac{q}{2} + \sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u= \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v^3=-\frac{q}{2} - \sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v= \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}} \end{eqnarray*}$

Mit pq-Formel würde doch aber:

$\begin{eqnarray*} u^3=-\frac{q}{2} \pm \sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v^3=-\frac{q}{2} \pm \sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3} \end{eqnarray*}$

oder nicht?? Also ich mein, wo is denn das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ ??

3.

Zitat:

Original von Guevara
Man muss daran denken dass es immer 3 Lösungen für die Dritte Wurzel gibt.

Achso?? Ist das jetzt auf ("echt"-)komplexe oder allgemein auf reelle Zahlen bezogen??

4.

Zitat:

Original von Guevara
Da es jeweils 3 Lösungen gibt, gibt es 9 Kombinationen. Allerdings gilt -3u*v=p. Dadurch ergeben sich 3 sinnvolle Kombinationen:

Warum dadurch??

5.

Zitat:

Original von Guevara
$\begin{eqnarray*} y2= \omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}}+\omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y3= \omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2} +\sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}}+\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \omega =\frac{-1+i\sqrt{3}}{2} ,,\omega ^2 =\frac{-1-i\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man auf das Omega und somit auf diese Darstellung der zwei weiteren Lösungen?? Bzw. vielleicht ist es ja andersrum und ich muss die Frage stellen als: Wie kommt man auf diese Darstellung der zwei weiteren Lösungen und somit auf das Omega???

6. Wenn es komplexe Lösungen für y und somit für u und/oder v geben kann, warum gilt dann:

Zitat:

Original von Guevara
$\begin{eqnarray*} y=u+v \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^3 =u^3+3u^2v+3uv^2+v^3 \end{eqnarray*}$

Also soweit ich das richtig sehe, gilt für komplexe Zahlen u und/oder v nicht

$\begin{eqnarray*} (u+v)^3 = u^3+3u^2v+3uv^2+v^3 \end{eqnarray*}$

oder?? Warum darf man das dann machen??

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir die Fragen beantworten könntet! :]
Freu mich auf die Antworten! Augenzwinkern

20.07.2004, 07:12

Leopold

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1.
weil es für den Beweis nützlich ist

2.
sieh das einmal so: die Gleichung w²+qw+(-p/3)³=0 hat zwei komplexe Lösungen w, die eine nennen wir u³, die andere v³ (das ± soll ja nur an beide Lösungen erinnern, mit positiv/negativ hat das sowieso nichts mehr zu tun, da die komplexen Zahlen nicht angeordnet werden können)

3. und 5.
die Gleichung w³=1 hat in den komplexen Zahlen drei Lösungen, die sogenannten dritten Einheitswurzeln, am leichtesten durch Faktorisierung zu bestimmen: 0=w³-1=(w-1)(w²+w+1), vom ersten Faktor die 1, vom zweiten Faktor die beiden Lösungen

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Nennt man (z.B.) diejenige Lösung mit dem positiven Imaginärteil $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \omega^2 \end{eqnarray*}$ diejenige mit dem negativen Imaginärteil (probier's aus). Die drei Lösungen von w³=1 sind also $\begin{eqnarray*} \omega^0,\omega^1,\omega^2 \end{eqnarray*}$ . Du kannst auch jede andere ganzzahlige Hochzahl anbringen und erhältst eine Lösung, aber eben keine neue mehr (warum?).
Und wenn man nun w³=a lösen will, so bestimmt man zunächst eine feste Lösung dieser Gleichung, und die beiden anderen erhält man, indem man $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \omega^2 \end{eqnarray*}$ heranmultipliziert. (Beachte das Potenzgesetz (st)³=s³t³ sowie $\begin{eqnarray*} \omega^3=1,(\omega^2)^3=(\omega^3)^2=1 \end{eqnarray*}$ .)

4. weil alle Bedingungen zu erfüllen sind

6. das Rechnen mit Variablen funktioniert mit komplexen Zahlen haargenau so wie mit reellen, solange man in den rationalen Operationen (+,-,·,: ) verbleibt, insbesondere gilt auch der Große Binomische Lehrsatz

20.07.2004, 17:21

Guevara

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1, Omega und omega^2 sind die 3 Lösungen für die driite wurzel von 1.
Warum nur diese 3 Kombinationen richtig sind siehst du vielleicht an den Regel für konjugiert Komplexe Zahlen.

29.07.2004, 23:48

Mathespezialschüler

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Ok, danke!!

Ich hab mir die Gleichungen von der zweiten Frage, nämlich

$\begin{eqnarray*} u^3\cdot v^3=(p/-3)^3,\ -q=u^3+v^3 \end{eqnarray*}$

nochmal angeguckt. Man kann ja sagen, es seien u^3 und v^3 die beiden Lösungen für die quadratische Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2 + qx - (\frac{p}{3})^3 = 0 \end{eqnarray*}$ ,

denn die beiden obigen Gleichungen stellen ja grad den Satz von Vieta dar.
Der Rest is mir jetz auch klar.

Das mit dem $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ is auch einigermaßen verständlich geworden, aber ich glaub, ich müsst mich nochmal n bisschen mehr mit den komplexen Zahlen beschäftigen.

Trotzdem nochmal danke!!!

22.08.2004, 17:30

Mathespezialschüler

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Hi, ich bins nochmal. Ich hab mir den workshop nochmal genauer angeguckt und auch den Fragethread und mir is jetzt, was die Cardanoformeln angeht, alles klar. Aber zu zwei Sachen hab ich noch Fragen:

Zitat:

Original von Guevara
-Quadratwurzel:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a \pm bi} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} \pm \sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} \cdot i \end{eqnarray*}$
Dabei muss beachtet werden dass es immer 2 Quadratwurzeln gibt. Die andere Lösung erhält man indem man die ganze Lösung mit -1 multipliziert.

1. Ist das eine Definition oder kann man die Formel der Quadratwurzel auch herleiten?

2. Du sagst, man muss beachten, es gäbe 2 Quadratwurzeln (später sagst du, n n-te Wurzeln). Das möcht ich nich so richtig glauben. Dann gäbe es ja z.B. auch für $\begin{eqnarray*} \sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ zwei, hmmm wie soll ich sagen, "Lösungen" oder "Zahlen", ich weiß nich, wie ichs ausdrücken soll.
Aber ich denke, es gibt nur eine n-te Wurzel. Meinst du vielleicht folgendes: Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^n=a \end{eqnarray*}$ hat n Lösungen für x??? Das wäre mir einleuchtend. verwirrt

seh grad noch was dazu:

Zitat:

Original von Guevara
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-a} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a} \cdot i \ \text{und} \ -\sqrt{a} \cdot i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \cdot \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ ist doch einfach nur $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \cdot i \end{eqnarray*}$ und nichts anderes oder? Wenn man hätte, $\begin{eqnarray*} x^2 = -a \end{eqnarray*}$ , dann wäre mMn $\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt{-a} = \sqrt{a} \cdot i \ \text{und} \ -\sqrt{a} \cdot i \end{eqnarray*}$ , aber sonst nicht oder?

Zitat:

Original von Guevara
-Wenn Z1 +Z2 = Z3, dann bilden Z1, (0/0), Z2, Z3, ein Paralellogramm auf der Ebene.

Ok, die Frage dazu hat sich grad eben doch erledigt nach mehrmaligem ausprobieren. Aber: Wenn (0,0), Z1 und Z2 auf einer Geraden liegen, gilt das nich, dann liegt auch Z3 auf der Geraden. Augenzwinkern

Danke für die Antworten (doch nur noch zur ersten Sache :P).

22.08.2004, 20:25

Leopold

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Das Problem ist, daß Wurzel nicht Wurzel bedeutet. Das ist paradox und meint Folgendes: Je nachdem, in welchem Kontext „Wurzel“ gebraucht wird, bedeutet es etwas anderes.

Kontext 1: $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Hier ist die Wurzel von a per definitionem diejenige nichtnegative reelle Zahl b, deren Quadrat a gibt, in Formeln: b²=a. Das Ganze ist sinnlos, wenn a negativ ist, denn Quadrate reeller Zahlen sind niemals negativ. Wenn aber a nichtnegativ ist, gibt es zu a (außer bei a=0) immer zwei Zahlen, deren Quadrat a ergibt. Dann legt man sich definitionsgemäß auf die positive Zahl als Wurzel fest. Damit erreicht man Eindeutigkeit und bekommt eine Funktion. Ich fasse noch einmal formelmäßig zusammen:

Für reelles $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \sqrt{a}=b \ \ \Leftrightarrow \ \ b \geq 0 \ \wedge \ b^2=a \end{eqnarray*}$

Warum legt man sich eigentlich auf nichtnegativ fest?
Bis zu einem gewissen Grade ist das Willkür. Aber es ist dennoch praktisch, es so zu tun.
Der erste Grund ist banal: positiv ist schöner als negativ. (Man denke an die Geometrie, wo Längen, Flächen, ... oft über quadratische Beziehungen berechnet werden. Längen sind aber positive Zahlen, und so bekommt man beim Wurzelziehen die Zahl gleich mit dem richtigen Vorzeichen als Ergebnis.)
Der zweite Grund ist, daß es für Produkte und Quotienten schöne Wurzelgesetze gibt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} \ , \ \ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \end{eqnarray*}$ , vorausgesetzt, alle Terme sind definiert.

Machen wir einmal für den Moment ein Gedankenspiel und definieren wir die Wurzel der nichtnegativen reellen Zahl a als diejenige nichtpositive Zahl b, deren Quadrat a ergibt. Dann sähen die obigen Wurzelgesetze etwas häßlicher aus:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{ab}=-\sqrt{a}\sqrt{b} \ , \ \ \sqrt{\frac{a}{b}}=-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \end{eqnarray*}$
Und jetzt vergessen wir das schnell wieder.

Kontext 2: Lösungen algebraischer Gleichungen über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Hier ist das Wort „Wurzel“ einfach nur ein Synonym für „Lösung“. Ob ich also sage, die Gleichung
z³+(-3+i)z²+(2-3i)z-6=0
hat die Lösungen i,-2i,3, oder ob ich sage, sie hat die Wurzeln i,-2i,3, bleibt sich gleich.

Kontext 3: Umkehrung des Quadrierens über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Hier kann man zeigen, daß die Gleichung z²=a für jede komplexe Zahl a ungleich 0 stets zwei komplexe Lösungen besitzt, deren Summe 0 ist (für a=0 gibt es nur die eine Lösung z=0). Da man aber $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ nicht anordnen kann, ist es nicht sinnvoll, eine der beiden Lösungen als die Lösung auszuzeichnen.
Und was bedeutet $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ dann?
Nichts und alles!
Man darf dieses Zeichen nicht benutzen, ohne daß durch einen einleitenden Satz, eine beigefügte Bemerkung oder ganz einfach die Umgebung, in der alles stattfindet, klar ist, was man meint. Denn manchmal meint man mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ beide Lösungen der Gleichung z²=a zugleich (oft durch ± suggestiv untersützt), manchmal eine der beiden Lösungen, ohne sich festzulegen welche, manchmal eine bestimmte der beiden Lösungen.
Natürlich könnte man das Wurzelzeichen ein für alle Mal eindeutig festlegen. Aber wenn man es tut, erhält man nicht das Gewünschte. Und so läßt man einfach alles offen.

Machen wir einmal ein Experiment. Legen wir $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ fest als diejenige der beiden Lösungen von z²=a, deren Realteil $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Und was machen wir dann mit negativen reellen a? Da haben ja beide Lösungen den Realteil 0. Nehmen wir da dann diejenige Lösung mit positivem Imaginärteil!
Dann wäre z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt{9}=3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt{-16}=4i \end{eqnarray*}$ (jetzt ist durch den Kontext das Wurzelzeichen eindeutig definiert!).
Und dann vergleichen wir einmal $\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{a}\sqrt{b} \end{eqnarray*}$ miteinander. Aber wir müssen uns jetzt auch an das Festgelegte halten!
$\begin{eqnarray*} \sqrt{9 \cdot 9}=\sqrt{9}\sqrt{9} \end{eqnarray*}$
Das stimmt, denn auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens steht 9 (links die Wurzel von 81, rechts 3•3).
$\begin{eqnarray*} \sqrt{9 \cdot (-16)}=\sqrt{9}\sqrt{-16} \end{eqnarray*}$
Auch das stimmt, denn auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens steht 12i (links die Wurzel von -144, rechts 3•4i).
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(-16) \cdot (-16)}=\sqrt{-16}\sqrt{-16} \end{eqnarray*}$
Das stimmt nicht, denn links steht die Wurzel aus 256, also 16 (Definition oben beachten!), und rechts steht 4i•4i=-16.

Und wie man es auch anstellt, man schafft es nicht, die Wurzel für alle komplexen Zahlen einheitlich so zu definieren, daß stets dasselbe Wurzelgesetz gilt. Umgekehrt: Wenn man ein Wurzelgesetz wie oben haben will, muß man den Zulässigkeitsbereich für die Radikanden einschränken. Das Wurzelgesetz gilt dann nicht mehr für alle komplexen Zahlen.

Und zum Schluß noch die Berechnungsformel für komplexe Wurzeln (beachte das Signum, das in Guevaras Formel fehlt!). Die auftretenden x,y seien reell. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+iy}=\pm\left(\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{x^2+y^2}+x\right)}+i \cdot \operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)}\right) \end{eqnarray*}$

(EDIT: Diese Formel stimmt nicht ganz. Korrektur in meinem nächsten Beitrag.)

Und hier gilt das oben Gesagte: Man muß so eine Formel richtig lesen können. Denn die 5 Wurzelzeichen, die hier vorkommen, bedeuten nicht überall dasselbe!
Alle Wurzelzeichen rechts vom Gleichheitszeichen bedeuten die Wurzel gemäß Kontext 1. Das Wurzelzeichen links vom Gleichheitszeichen steht aber in dem oben genannten laschen Sinne für beide Lösungen der Gleichung w²=x+iy.

Und diese Formel kannst du ganz leicht beweisen. Du mußt ja nur die rechte Seite quadrieren und schauen, was herauskommt. Die binomische Formel kennst du, wie das mit i² geht, ist dir auch bekannt, und bei den Wurzeln rechts kannst du die üblichen reellen Wurzelgesetze anwenden. Also los – an die Arbeit! (Und vielleicht merkst du dabei auch, warum meine Formel richtig, Guevaras Formel aber leicht falsch ist.)

Und die Sache mit der Cardanoschen Formel ist ein Kapitel für sich. Du siehst, welche Probleme das korrekte Lesen einer komplexen Formel schon bei Quadratwurzeln macht. Erst recht ist das bei der Cardano-Formel so. Mehr sage ich dazu aber nicht.

Ich habe mich jetzt einmal ausführlich geäußert, weil in den letzten Monaten zu diesem Thema so viel Richtiges, Falsches und Halb-Richtiges gesagt wurde, daß ich das einfach einmal aus meiner Sicht klarstellen wollte.

ENDE

22.08.2004, 21:26

Mathespezialschüler

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Ich kann dir gar nich genug danken, Leopold! :] Ich hab das Gefühl, mit diesem Beitrag hätte ich überhaupt erst richtig verstanden, was komplexe Zahlen überhaupt sind. Gott

Auch wenn mich manches verwirrt hat. :P

Zitat:

Original von Leopold
Hier ist das Wort „Wurzel“ einfach nur ein Synonym für „Lösung“. Ob ich also sage, die Gleichung
z³+(-3+i)z²+(2-3i)z-6=0
hat die Lösungen i,-2i,3, oder ob ich sage, sie hat die Wurzeln i,-2i,3, bleibt sich gleich.

Kann man also sagen: "Die Gleichung ... hat die Wurzeln ..." verwirrt

Zitat:

Original von Leopold

Kontext 3: Umkehrung des Quadrierens über
Hier kann man zeigen, daß die Gleichung z²=a für jede komplexe Zahl a ungleich 0 stets zwei komplexe Lösungen besitzt, deren Summe 0 ist (für a=0 gibt es nur die eine Lösung z=0).

Wenn man sagt, a=x+yi, dann sind doch die beiden Lösungen grade die unten angegebenen Wurzeln oder?

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+iy}=\pm\left(\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{x^2+y^2}+x\right)}+i \cdot \operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)}\right) \end{eqnarray*}$

...

(Und vielleicht merkst du dabei auch, warum meine Formel richtig, Guevaras Formel aber leicht falsch ist.)

Also, ich habs mal gemacht, dabei kam dann als der imaginäre Teil folgendes raus (wenn ich das sgn(y) erstmal weglasse):

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{\frac{1}{4}(x^2+y^2-x^2)}\cdot i = i\cdot \sqrt{y^2} = i\cdot |y| \end{eqnarray*}$

und mit sgn:

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{\frac{1}{4}(x^2+y^2-x^2)}\cdot i\cdot sgn(y) = i\cdot \sqrt{y^2}\cdot sgn(y) = i\cdot |y|\cdot sgn(y) \end{eqnarray*}$

und dann wirds auch wirklich das y...

Zitat:

Original von Guevara
Allerdings muss man daran denken dass die n.Wurzel n Lösungen hat.

Heißt der Satz jetzt das gleiche wie folgendes?? :
"Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^n = a \end{eqnarray*}$ hat n Lösungen."

Wenn a>=0, dann gibt es ja nur eine (n-fache) Lösung $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a} \end{eqnarray*}$ (Kontext 1). Oder gibts auch noch ne komplexe (Imaginärteil nicht 0)?
Wenn a<0, wie viele komplexe Lösungen gibt es dann?? Genau n verschiedene?

Zitat:

Original von Leopold
Und die Sache mit der Cardanoschen Formel ist ein Kapitel für sich. Du siehst, welche Probleme das korrekte Lesen einer komplexen Formel schon bei Quadratwurzeln macht. Erst recht ist das bei der Cardano-Formel so. Mehr sage ich dazu aber nicht.

Na toll.. :P

22.08.2004, 22:06

Leopold

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Und voller Schrecken habe ich festgestellt, daß auch meine Formel falsch ist. Ich berichtige deshalb:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+iy}=\pm\left(\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{x^2+y^2}+x\right)}+i \cdot s\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)}\right) \end{eqnarray*}$

wobei s folgendermaßen zu wählen ist:
falls y>0: s=1
falls y<0: s=-1
falls y=0 und x>=0: s=irgendwas
falls y=0 und x<0: s=1 (oder s=-1)

Rechne das bitte einmal nach, ob es jetzt stimmt (du mußt bei der binomischen Formel auch auf das Quadrat des Imaginärteils achten und vor allem den Fall y=0 im Auge behalten).

Ich hoffe, daß jetzt alles paßt.

Zu deinen Fragen:

erste Frage: ja
zweite Frage: ja
dritte Frage:
Die Gleichung x^n=a hat, wenn a=0 ist, nur die Lösung 0, für alle anderen komplexen a hat sie n verschiedene komplexe Lösungen. Diese Lösungen bilden in der Gaußschen Zahlenebene ein regelmäßiges n-Eck mit Mittelpunkt 0 (siehe meinen früheren Beitrag über Einheitswurzeln).
Über R hat die Gleichung, wenn n gerade ist, zwei Lösungen für positives a (beide einfach) und keine Lösung für negatives a, und genau eine Lösung (einfach), wenn n ungerade ist.

22.08.2004, 22:39

Mathespezialschüler

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Ok, danke!! Habs mir nochmal angeguckt, is logisch und alles richtig.
Zum anderen: D.h. also x^n=a hat für n gerade und a>0 auch (n-2) komplexe Lösungen und für n ungerade und a>0 auch (n-1) komplexe Lösungen?! Wie findet man die denn raus, z.B. bei $\begin{eqnarray*} x^7 = 128 \end{eqnarray*}$ ?? Nach Polynomdivision durch (x-2) ergibt:

$\begin{eqnarray*} x^7 - 128 = (x-2)(x^6+2x^5+4x^4+8x^3+16x^2+32x+64) \end{eqnarray*}$

Im allgemeinen sagt man ja raten, aber kann man komplexe Lösungen denn so "einfach" erraten? Wahrscheinlich eher nich verwirrt

Is da also die Lösungsfindung genauso schwer wie für reelle Lösungen?

22.08.2004, 23:13

Leopold

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Die 7 Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^7=128 \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} z_{\nu}=2\omega^{\nu} \ \ (\nu=0,1,2,3,4,5,6) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ eine beliebige primitive siebte Einheitswurzel ist. In der Regel nimmt man bei Einheitswurzeln (in diesem Fall sind das die sieben Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^7=1 \end{eqnarray*}$ ) für $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ diejenige Einheitswurzel, die in der Gaußschen Zahlenebene im I. Quadranten der positiven reellen Achse am nächsten liegt. Um konkret zu werden:
$\begin{eqnarray*} \omega=\cos{\frac{2\pi}{7}}+i \cdot \sin{\frac{2\pi}{7}}= 0,62348...+i \cdot 0,78183... \end{eqnarray*}$
Es ist nicht möglich, bei siebten Einheitswurzeln eine trigonometriefreie Darstellung anzugeben.
Die sieben Zahlen $\begin{eqnarray*} 1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4,\omega^5,\omega^6 \end{eqnarray*}$ bilden unter der Multiplikation eine sogenannte zyklische Gruppe der Ordnung 7 (zyklisch=kreisförmig). Wenn du zwei der Zahlen multiplizierst, erhältst du eine andere Zahl aus der Reihe. Und alle Zahlen sind die Potenzen einer einzigen Zahl (nämlich $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ).

Beispiel: $\begin{eqnarray*} \omega^4 \cdot \omega^5 = \omega^9 = \omega^7 \cdot \omega^2 = 1 \cdot \omega^2 = \omega^2 \end{eqnarray*}$

Geometrisch liegen diese sieben Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene auf dem Einheitskreis, und zwar so, daß sie die 7 Ecken eines regelmäßigen Siebenecks bilden.

Im übrigen gilt $\begin{eqnarray*} \omega^{\nu}=\cos{\frac{2\pi\nu}{7}}+i \cdot \sin{\frac{2\pi\nu}{7}} \end{eqnarray*}$ (siehe deine eigenen Auslassungen zur Polarform weiter oben).

22.08.2004, 23:45

Mathespezialschüler

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Was sind denn eigentlich Einheitswurzeln?? Sind die n-ten Einheitswurzeln somit die Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^n=1 \end{eqnarray*}$ ?? Und kriegt man sie auch nur raus über die Verbindung zum n-Eck?

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \omega=\cos{\frac{2\pi}{7}}+i \cdot \sin{\frac{2\pi}{7}}= 0,62348...+i \cdot 0,78183... \end{eqnarray*}$
Es ist nicht möglich, bei siebten Einheitswurzeln eine trigonometriefreie Darstellung anzugeben.

Warum das denn nicht?? Ist das ganz rechts nich eine trigonometriefreie?? Oder meinst du, dass man es mit Konstanten darstellen kann und nicht mit irrationalen Zahlen in der Dezimaldarstellung, so wie rechts? Und gilt das allgemein für alle n-ten Einheitswurzeln mit n ungerade?

Zitat:

Original von Leopold
Geometrisch liegen diese sieben Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene auf dem Einheitskreis, und zwar so, daß sie die 7 Ecken eines regelmäßigen Siebenecks bilden.

Gilt das nur für Gleichungen der Art $\begin{eqnarray*} z^n=a \end{eqnarray*}$ , dass die Lösungen auf einem regelmäßigen n-Eck liegen? Für Polynome dürfte es ja nicht gelten bzw. gilt es auch nicht. verwirrt

Danke für deine Antwort!

29.08.2004, 11:59

Mathespezialschüler

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Hi nochmal,
ich bins mal wieder. Augenzwinkern

Also die Fragen aus dem Beitrag über diesem zu der trigonometriefreien Darstellung bestehen noch. Und kann man das denn auch nich in Exponentialform darstellen? Die anderen beiden Fragen sind mirklar geworden.
Nur das mit dem regelmäßigen n-Eck is noch nich so klar. Also ich würd gern wissen, wie man überhaupt auf die Lösungen kommt. Du hast mir jetzt einfach die Lösungen genannt und dazu das mit den Einheitswurzeln. Also das is ja schon ein Ansatz, aber wie kommt man denn auf die Einheitswurzeln?? Mein Problem ist, ich möhte da keinen Zirkelschluss drin haben.
Also wie kann man denn erstmal die Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^n=a \end{eqnarray*}$ finden, ohne das mit den Einheitswurzeln bzw. dem n-Eck zu benutzen, denn das will ich damit dann erst beweisen. Also wie kann man (nachdem man die Lösungen gefunden hat) beweisen, dass die n-ten Einheitswurzeln die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks mit dem Einheitskreis als Umkreis darstellen und dass die Lösungen der obigen Gleichung ein regelmäßiges n-Eck mit dem Umkreis, der den Radius $\begin{eqnarray*} r=\sqrt[n]{a} \end{eqnarray*}$ hat, bilden? Erst dann kann man das ja benutzen (und ich bin jetz hier mal so pingelich Augenzwinkern

). Von mir aus geht da auch ne andere Reihenfolge oder Herleitung, aber ich würd das zumindest gern mal mathematisch korrekt machen/haben. Also hat jmd. n Tipp dazu?

Noch was zu den Potenzen:

Zitat:

Original von Guevara
4.) Höhere Rechenregeln

-Potenzieren
Nun ist logisch dass
$\begin{eqnarray*} Z^n = r^n \cdot ( \cos(\varphi \cdot n) + \sin (\varphi \cdot n) \cdot i) \end{eqnarray*}$
Würde man mit a+bi rechnen würde die Rechnung um einiges länger dauern.

-Wurzel
Es geht auch anders herum
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{Z} = \sqrt[n]{r} \cdot (\cos \left( \frac{\varphi}{n} \right) +\sin \left( \frac{\varphi}{n} \right) \cdot i) \end{eqnarray*}$

Allerdings muss man daran denken dass die n.Wurzel n Lösungen hat. Die Formel für alle Lösungen lautet
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{Z} = \sqrt[n]{r} \cdot (\cos \left( \frac{\varphi+2\pi \cdot k}{n} \right) +\sin \left( \frac{\varphi+2\pi \cdot k}{n} \right) \cdot i) \end{eqnarray*}$
k= 0, 1, 2 , ...,n-2, n-1 (Bogenmaß)

1. @Guevara
Für welche n gilt das jeweils?? Gilt das jeweils nur für natürliche bzw. ganze n? Für reelle n wäre das "Potenzieren" falsch und das mit "Wurzel" dann überflüssig.
"Nun ist logisch dass ..." hört sich auch nicht toll an und so logisch ist es auch nicht. Wenn du schon keinen Beweis gibst, dann schreib wenigstens hin, "durch vollständige Induktion kann man beweisen, dass folgendes gilt: ..." (für natürliche n). Augenzwinkern

@all
2. Gilt in C auch $\begin{eqnarray*} Z^{-n}= \frac{1}{Z^n} \end{eqnarray*}$ ?? Dann wäre das mit dem "Potenzieren" für negative n auch falsch.

3. Wie kann man das für reelle n beweisen bzw. wie sieht die richtige Formel für Z^n, n e IR überhaupt aus?

4. Kann man die Exponentialform auch ohne Taylorreihen "herleiten"??

Danke für die Antworten! smile

18.11.2004, 21:38

hummma

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$\begin{eqnarray*} -2=\sqrt[3]-8=(-8)^\frac{1}{3}=(-8)^\frac{2}{6}==8^\frac{1}{3}=2 \end{eqnarray*}$

Wo liegt bei der Umformung der Fehler. Wenn ich nur die Reelen Zahlen betrachte ist das klar weil die Wurzel ja nur fuer $\begin{eqnarray*} R^+_0 \end{eqnarray*}$ definiert ist aber wie ist das mit komplexen Zahlen?

18.11.2004, 23:18

Poff

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diese Potenzgesetze gelten nicht für negative Radikanden
.

19.11.2004, 12:41

hummma

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Wie ist eine negative komplexe Zahl definiert?

Edit: Dh sie sind fuer $\begin{eqnarray*} \mathbb C \backslash \ \mathbb {R}^0_+ \end{eqnarray*}$ einfach nicht definiert oder?

19.11.2004, 12:56

Leopold

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Es gibt keine negativen komplexen Zahlen; der Körper der komplexen Zahlen kann nämlich nicht angeordnet werden.
Der Begriff "negative Zahl" ist, ebenso wie die Potenzgesetze, nur im Reellen sinnvoll.

11.10.2005, 16:54

irre.flexiv

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Zitat:

Also wie kann man denn erstmal die Lösungen der Gleichung x^n=a finden, ohne das mit den Einheitswurzeln bzw. dem n-Eck zu benutzen, denn das will ich damit dann erst beweisen.

$\begin{eqnarray*} x^n = a = ae^{i\varphi} = ae^{i(\varphi + 2k\pi)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x = \sqrt[n]a e^{i\left(\frac{\varphi}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)} \end{eqnarray*}$

12.10.2005, 00:46

Mathespezialschüler

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@irre.flex
Die Frage ist schon lange erledigt! Augenzwinkern

Gruß MSS

16.02.2007, 11:03

luftfahrerin

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Also ich habe auch zum ersten Mal an der Uni von Komplexen Zahlen gehört.
Und da wird dann davon ausgegangen, dass man das schon hatte, weil da natürlich auch Studenten sind die das schon kennen, aber halt nicht alle.
Daher möchte ich mich hier bedanken, dass es solche Workshops gibt die einem das Leben mit Mathe doch etwas einfacher machen.
Tanzen

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RE: 1.) Einleitung und Definition

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