Momentan?

16.12.2006, 21:49

Christian1

Durchschnitt/Mittel/Momentan?

Was sind denn die Unterschiede? Wie kann ich zum Beispiel Durchschnittsgeschwindigkeit/Mittlere Geschwindigkeit berechnen?
Gegeben ist ein Schaubild mit Zeit t in min., und v in m/s, Flächeninhalt also die Strecke...hab mal was davon gehört, dass 1/2 A (Fläche) ist Durchschnittsgeschwindigkeit ist?

16.12.2006, 23:13

mYthos

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Mittlere Geschwindigkeit und Durchschnittsgeschwindigkeit sind beide - dem Ursprung nach - mittlere Größen, sie unterscheiden sich jedoch hinsichtlich des Betrachtungszeitraumes.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit wird von der Zeit des Beginns bis zum Ende der Bewegung erhoben. Das ist so, wie wenn ein Fahrzeug in 4 Stunden von Wien nach München fährt und dabei 480 km zurücklegt. Dann beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit 120 km/h.

Sind aber dabei auf der Strecke zwei Messpunkte eingerichtet, wobei zu zwei verschiedenen Zeitpunkten der Kilometerstand abgefragt wird, kann daraus (nur) die mittlere Geschwindigkeit errechnet werden, da sich dazwischen die tatsächliche Geschwindigkeit (Momentangeschwindigkeit) ständig ändern kann. Beträgt der Kilometerstand am 1. Messpunkt 100 km und 3 Minuten später am 2. Messpunkt 104 km, so ist

$\begin{eqnarray*} v_{mittel} = \frac{104 - 100}{0,05} = 80 \ km/h \end{eqnarray*}$

Wir erkennen, dass in dieser Beziehung die mittlere Geschwindigkeit einen Quotient zweier Diffferenzen (Wegdifferenz / Zeitdifferenz) darstellt, deshalb nennt man diesen Differenzenquotient.

Wie schon erwähnt, ändert sich während einer ungleichförmigen Bewegung die soeben gefahrene Geschwindigkeit v(t) ständig. Sie ist vom jeweils betrachteten Zeitpunkt t abhängig. Zu jedem Zeitpunkt t wird sich also eine bestimmte Geschwindigkeit einstellen, diese heisst Momentangeschwindigkeit. Je näher die beiden Messpunkte beieinanderliegen und umso kürzer daher die zum Durchfahren benötigte Zeit wird, umso mehr nähert sich die mittlere Geschwindigkeit der Momentangeschwindigkeit.

Man kann an einen Grenzfall denken, wenn beide Differenzen gegen Null gehen. Dabei wird der Grenzwert des Differenzenquotienten zur Momentangeschwindigkeit werden, man nennt diesen Differentialquotient.

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In der Zeit-Geschwindigkeits - Funktionskurve (Diagramm) wird bei der Fahrt von Wien nach München meist eine waagrechte Linie (um die 100 - 140 km/h) zu sehen sein, nur beim Beschleunigen und Bremsen ist die Kurve steigend oder fallend. Die Fläche A, die diese Kurve mit der Zeitachse einschliesst, ist der Gesamtweg. v(t) wird hier durch die Durchschnittsgeschwindikeit kaum in die Hälfte geteilt.

Die Teilung in $\begin{eqnarray*} \frac{v(t)}{2} \end{eqnarray*}$ ist nur bei einer gleichförmig beschleunigten (verzögerten) Bewegung gegeben. Denn dann ist $\begin{eqnarray*} v(t) = a \cdot t \end{eqnarray*}$ . Zwischen 0 und t ist die Fläche dann die eines rechtwinkeligen Dreieckes:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{t \cdot at}{2} = v_{mittel} \cdot t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{at}{2} = v_{mittel} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{mittel} = \frac{v}{2} \end{eqnarray*}$

mY+

17.12.2006, 10:50

Christian1

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Jetzt habe ich gerade eine Formel zum Mittelwert in meinem Buch gefunden:

$\begin{eqnarray*} m= \frac{1}{a-b} \int_{b}^{a}~2x~dx = .... \end{eqnarray*}$

was hat das zu bedeuten?

Also ist der Mittelwert, bei einem Schaubbild immer derselbe, nämlich der Wert in der 'Mitte'? Und die Durchschnittsgeschwindigkeit änder sich je nach Abschnitt in dem ich sie betrachten soll?

17.12.2006, 10:59

klarsoweit

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Man kann den Mittelwert einer Funktion definieren als:

$\begin{eqnarray*} m= \frac{1}{a-b} \int_{b}^{a}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~f(x)~dx = m \cdot (a-b) \end{eqnarray*}$ und entspricht damit der Fläche des Rechtecks mit den Kanten a-b und m.

17.12.2006, 11:33

Christian1

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Und wie muss ich das ausrechnen? Nach was auflösen?
Und was ist mit der Durchschittsgeschwindigkeit? Ich habe es nicht verstanden! traurig

Beispielaufgaben die ich nicht verstehe:
$\begin{eqnarray*} f(x)= -\frac{1}{45}x^{2}+\frac{3}{4}x \end{eqnarray*}$
ist die Abbildung eines Geschwindkeit/Zeit-Diagramms.
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit im Zeitintervall 10s bis 30s.
Dann steht daneben noch eine Notiz von mir, 'Durchschittsgeschwindigkeit= Hälfte A'.

2. Aufgabe:
Ausflussrate eines Öltanks wird stündlich gemessen. Von Null bis zur Vierten Stunde: 35,30,26,23,21

Schätze anhand der Tabellenwerte den max. Ölverlust während den ersten 4 Stunden indem du eine sinnvolle obere und untere Schranke angibst. Erläutere deine Schätzung und die dabei verwendeten Annahmen.

3.Aufgabe:
Staubbecken mit 5000m³ am Anfang des Jahres. Wasserzuflussrate: -t²+40t+225
Wann wird das Becken nach diesem Modell leer sein? Berechne mittlere Zuflussrate un den ersten 60 Tagen und die mittlere Wassermenge in diesem Zeitraum. Welche bedeutung hat die Ableitung in einem Punkt?

17.12.2006, 13:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von Christian1
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit im Zeitintervall 10s bis 30s.

Du brauchst deine Funktion mit den entsprechenden Grenzen eigentlich nur in die oben genannte Mittelwertsformel einsetzen.

17.12.2006, 13:48

mYthos

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Du kannst nicht erwarten, dass Hausaufgaben hier gemacht werden. Was du kannst (und sollst), ist, eine Beispielaufgabe, mit eigenem Ansatz und Überlegungen bzw. Problemlage zu posten. Dann kann dazu gezielte Hilfe erfolgen.

Ich habe versucht, aus deinem kargen ersten Post heraus ziemlich ausführlich das Wesen dieser Durchschnitte zu erklären. Wenn du es dennoch nicht verstehst, liegt das daran, dass eine noch ausführlichere Darlegung den Rahmen dieses Boards sprengen würde. Du kannst aber sicher auch mittels des großen Orakels (Internet) viele Informationen gewinnen.

Mittelwerte von Funktionen hat dir @klarsoweit erläutert, da geht es um die Fläche des Rechteckes. Unter gewissen Umständen, aber bei weitem nicht in der Mehrzahl der Fälle, teilt m diese Fläche in die Hälfte.

mY+

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